Exercitii rezolvate cu limite de functii

Incepem rapid prin a rezolva exercitii in care apar limitele deoarece cu aceste limite o sa lucram mai mult timp, astfel prezentam :

Exercitii rezolvate cu limite de functii
1) Sa se calculeze limitele:
a) $\lim\limits_{x\to 1}{\frac{x^{4}+x^{2}-2}{x^{2}-1}}$
suntem in cazul de nedeterminare de $\frac{0}{0}$

Astfel daca luam polinomul de la numarator si incercam sa-l scriem ca produs de doua polinoame, astfel incat sa putem obtinem ceva care sa ne ajute
$x^{4}+x^{2}-2=0$
Notam $x^{2}=t$ si obtinem
$t^{2}+t-2=0$ , astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea
$\Delta =1^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$
$t_{1}=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$
$t_{2}=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$
Deci obtinem
$x^{2}=1$ si $x^{2}=-2$
Deci putem scrie numaratorul astfel
$\left(x^{2}-1\right)\cdot\left(x^{2}+2\right)$
Acum limita devine
$\lim\limits_{x\to 1}{\frac{x^{4}+x^{2}-2}{x^{2}-1}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\left(x^{2}-1\right)\cdot\left(x^{2}+2\right)}{x^{2}-1}}=\lim\limits_{x\to 1}{x^{2}+2}=1^{2}+2=1+2=3$

b) $\lim\limits_{x\to \infty}{x-\sqrt{x^{2}-2x+2}}=$

$\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{2}-\left(x^{2}-2x+2\right)}{x+\sqrt{x^{2}-2x+2}}}=$

$\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{2}-x^{2}+2x-2}{x+\sqrt{x^{2}-2x+2}}}=$

$\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{2x-2}{x+\sqrt{x^{2}-2x+2}}}=$

$\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x\left(2-\frac{2}{x}\right)}{x\left(1+\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}}\right)}}=$

$\frac{2-0}{1+\sqrt{1-0+0}}=\frac{2}{1+1}=\frac{2}{2}=1$

La limita de mai sus suntem in cazul de nedeterminare infinit minus infinit. Dupa cum bine observam contine radicali si din acest motiv am „rationalizat numitorul”, dupa aceasta etapa ni s-au eliminat anumiti termeni si am ajuns sa avem o nedeterminare de cazul infinit pe infinit, pe care am rezolvat-o dand factor comun fortat pe x, iar apoi am obtinut rezultatul 1.

c) $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\ln{\left(1+\sin x\right)}}{\ln{1+\sin 2x}}}=$

$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\ln{\left(1+\sin x\right)}}{\sin x}\cdot \frac{\sin x}{\ln{\left(1+\sin 2x\right)}}}=$

$1\cdot\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin x}{\ln{\left(1+\sin 2x\right)}}}=$

$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin x}{\frac{\ln{\left(1+\sin 2x\right)}}{\sin 2x}\cdot \sin 2x}}=$

$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin x}{\sin 2x}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin x}{2\sin x\cdot \cos x}}^{(\sin x}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{1}{2\cos x}}=\frac{1}{2\cdot cos 0}=\frac{1}{2}$ .

Ca sa rezolovam limita de mai sus am folosit regula

$\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{\ln{1+x}}{x}}=1$ , adica am incercat sa aducem atat numitorul cat si numaratorul in acest caz, apoi dupa ce am aplicat aceasta regula la numitor ne-a ramas $\sin 2x$ , iar la numarator $\sin x$ , dar mai stim si ca $\sin 2x=2\sin x\cos x$ , de unde se simplifica numaratorul cu numitorul fractiei prin $\sin x$ de unde ne-a ramas $\frac{1}{2\cos x}$ , dar mai stim ca $\cos 0=1$ , de unde obtinem ca limita este $\frac{1}{2}$ .

d) $\lim\limits_{x\to \infty}{\left(\frac{x^{2}+5x+4}{x^{2}-3x+7}\right)^{x}}=\lim\limits_{x\to \infty}{\left(1+\frac{x^{2}+5x+4}{x^{2}-3x+7}-1\right)^{x}}=$

$\lim\limits_{x\to 0}{\left(1+\frac{x^{2}+5x+4-x^{2}+3x-7}{x^{2}-3x+7}\right)^{x}}=$

$\lim\limits_{x\to \infty}{\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^{2}-3x+7}\right)^{\frac{x^{2}-3x+7}{8x-3}}\right]^{\frac{8x-3}{x^{2}-3x+7}\cdot x}}=$

$e^{\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{\left(8x-3\right)\cdot x}{x^{2}-3x+7}}}=$

$e^{\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{8x^{2}-3x}{x^{2}-3x+7}}}=$

$e^{\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{2}\left(8-\frac{3}{x}\right)}{x^{2}\left(1-\frac{3}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right)}}}=e^{8}$ .

Observat ca la limita de mai sus suntem in cazul de nedeterminare $1^{\infty}$ , astfel ca sa rezolvam limita am adunat si am scazut 1 de la fractia initiala, apoi am adus la acelasi numitor, doar in partea dreapta, unde am scazut, deoarece vrem sa o aduncem limita sub forma $\lim\limits_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}=e$ , dupa ce am terminat aceasta etapa la puterea e am scris fractia care am gasit-o din calcul rasturnata, totul la puterea fractiei care am gasit-o inmultita cu x, , iar apoi am ajuns in cazul de nedeterminare $\frac{\infty}{\infty}$ , care am rezolvat-o ca si mai sus, adica am dat factor comun fortat pe $x^{2}$ .

Exercitii rezolvate cu limite de functii

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii