Ne place matematica !

Functii Notiune de functie

Despre notiunea de functie am mai discutat si in clasa a VII-a, atunci cand am vorbit de dependenta functionala, cand am invatat sa calculam distanta dintre doua puncte cand stim coordonatele punctelor, dar si sa reprezentam functiile, astfel astazi o sa discutam despre :

Functii Notiunea de functie

Incepem prin a defini notiunea de functie

Definitie: Fie A si B dous multimi nevide. Prin functia f definita pe multimea A cu valori in  multimea B se intelege orice lege, procedeu, regula, convenctie prin care fiecarui element x\in A i se asociaza un singur element y=f\left(x\right)\in B.

Prin f:A\rightarrow B vom nota o functie definita pe A cu valori in B. Multimea A se numeste domeniul de definitie  al functiei, iar B se numeste codomeniul functiei f sau domeniul de valori, iar procedeul, regula y=f\left(x\right)  se numeste legea de corespondenta a functiei.

Imaginea functiei

Fie f:A\rightarrow B o functie. Imaginea functiei f este multimea

Im\;\;f=\left\{f\left(x\right)|x\in A\right\}. In mod evident Im\;\; f\subset B.

Putem scrie si altfel:

Im\;\;\; f=\left\{y\in B|\exists x\in A\;\; a.i.\;\; y=f\left(x\right)\right\}

Graficul functei

Fie f:A\rightarrow B o functie. Multimea G_{f}=\left\{\left(x, f\left(x\right)\right)|x\in A\right\} se numeste graficul functiei f.

Avem si G_{f}=\left\{\left(x, y\right)|x\in A, y=f\left(x\right)\right\}\subset A\times B.

Reprezentarea geometrica a functiei

Daca f:A\rightarrow B este o functie numerica, fiecarui element \left(x, y\right)\in G_{f} ii putem asocia un punct M\left(x, y\right)  intr-un reper cartezian. Submultimea planului formata de toate punctele M\left(x,y\right) cu \left(x, y\right)\in G_{f} se numeste reprezentarea geometrica a graficului functiei f.

Moduri de definire a functiilor:

– printr-o diagrama f:\left\{-2; -1; 0; 3\right\}\rightarrow \left\{4; 5; 10\right\}

cum putem defini o functie

 

 

 

 

 

– printr-un tabel

f:\left\{-1; 0; 2; 5\right\}\rightarrow \left\{1; 2; 3\right\}

cum reprezentam functiile printr-un tabel

 

 

 

 

 

– prin una sau mai multe formule analitice
Exemplu:
f:\left\{0; 2; 4\right\}\rightarrow \left\{0; 4; 16\right\} f\left(x\right)=x^{2}.

Definitie

Doua functii f:A\rightarrow B  si g:C\rightarrow D se numesc egale daca au acelasi domeniu, adica A=c de definitie, acelasi codomeniu de definitie, adica B=D  si f\left(x\right)=g\left(x\right), oricare x se afla in A. Notam f=g

Exercitii

1) Se considera multimea

A=\left\{0; 1; \frac{4}{9}; 1\frac{9}{25}; 10, 24; 11\right\} si functia r:A\rightarrow R, r\left(x\right)=\sqrt{x}

a) Scrieti elementele multimii Im\;\; r si efectuati Q\cap Im\;\; r

b) Descrieti printr-o formula o functie p:Im\;\; r\rightarrow A

Solutie

Stim ca Im\;\; r=\left\{r\left(x\right)|x\in A\right\}

Deci calculam

r\left(0\right)= \sqrt{0}=0    \\r\left(1\right)=\sqrt{1}=1    \\r\left(\frac{4}{9}\right)=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}

r\left(1\frac{9}{25}\right)=\sqrt{\frac{1\cdot 25+9}{25}}=\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{34}}{5}    \\r\left(10\right)=\sqrt{10}=\sqrt{10}    \\r\left(10,24 \right)=\sqrt{\frac{1024}{100}}=\frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{100}}=\frac{32}{10}=3,2    \\r\left(11\right)=\sqrt{11}=\sqrt{11}

Deci

Im\;\; r=\left\{0; 1; \frac{2}{3}; \frac{\sqrt{34}}{5}; 3,2; \sqrt{11}\right\}

Acum calculam

Q\cap Im\;\; r=\left\{0; 1; \frac{2}{3}; 3,2\right\}

b) Functia pe care o gasim p:Im\;\; r\rightarrow A este p\left(x\right)=x^{2}