Functii Notiune de functie

Despre notiunea de functie am mai discutat si in clasa a VII-a, atunci cand am vorbit de dependenta functionala, cand am invatat sa calculam distanta dintre doua puncte cand stim coordonatele punctelor, dar si sa reprezentam functiile, astfel astazi o sa discutam despre :

Functii Notiunea de functie

Incepem prin a defini notiunea de functie

Definitie: Fie A si B dous multimi nevide. Prin functia f definita pe multimea A cu valori in multimea B se intelege orice lege, procedeu, regula, convenctie prin care fiecarui element $x\in A$ i se asociaza un singur element $y=f\left(x\right)\in B$ .

Prin $f:A\rightarrow B$ vom nota o functie definita pe A cu valori in B. Multimea A se numeste domeniul de definitie al functiei, iar B se numeste codomeniul functiei f sau domeniul de valori, iar procedeul, regula $y=f\left(x\right)$ se numeste legea de corespondenta a functiei.

Imaginea functiei

Fie $f:A\rightarrow B$ o functie. Imaginea functiei f este multimea

$Im\;\;f=\left\{f\left(x\right)|x\in A\right\}$ . In mod evident $Im\;\; f\subset B$ .

Putem scrie si altfel:

$Im\;\;\; f=\left\{y\in B|\exists x\in A\;\; a.i.\;\; y=f\left(x\right)\right\}$

Graficul functei

Fie $f:A\rightarrow B$ o functie. Multimea $G_{f}=\left\{\left(x, f\left(x\right)\right)|x\in A\right\}$ se numeste graficul functiei f.

Avem si $G_{f}=\left\{\left(x, y\right)|x\in A, y=f\left(x\right)\right\}\subset A\times B$ .

Reprezentarea geometrica a functiei

Daca $f:A\rightarrow B$ este o functie numerica, fiecarui element $\left(x, y\right)\in G_{f}$ ii putem asocia un punct $M\left(x, y\right)$ intr-un reper cartezian. Submultimea planului formata de toate punctele $M\left(x,y\right)$ cu $\left(x, y\right)\in G_{f}$ se numeste reprezentarea geometrica a graficului functiei f.

Moduri de definire a functiilor:

– printr-o diagrama $f:\left\{-2; -1; 0; 3\right\}\rightarrow \left\{4; 5; 10\right\}$

– printr-un tabel

$f:\left\{-1; 0; 2; 5\right\}\rightarrow \left\{1; 2; 3\right\}$

– prin una sau mai multe formule analitice
Exemplu:
$f:\left\{0; 2; 4\right\}\rightarrow \left\{0; 4; 16\right\} f\left(x\right)=x^{2}$ .

Definitie

Doua functii $f:A\rightarrow B$ si $g:C\rightarrow D$ se numesc egale daca au acelasi domeniu, adica A=c de definitie, acelasi codomeniu de definitie, adica B=D si $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ , oricare x se afla in A. Notam $f=g$

Exercitii

1) Se considera multimea

$A=\left\{0; 1; \frac{4}{9}; 1\frac{9}{25}; 10, 24; 11\right\}$ si functia $r:A\rightarrow R, r\left(x\right)=\sqrt{x}$

a) Scrieti elementele multimii $Im\;\; r$ si efectuati $Q\cap Im\;\; r$

b) Descrieti printr-o formula o functie $p:Im\;\; r\rightarrow A$

Solutie

Stim ca $Im\;\; r=\left\{r\left(x\right)|x\in A\right\}$

Deci calculam

$r\left(0\right)= \sqrt{0}=0 \\r\left(1\right)=\sqrt{1}=1 \\r\left(\frac{4}{9}\right)=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}$

$r\left(1\frac{9}{25}\right)=\sqrt{\frac{1\cdot 25+9}{25}}=\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{34}}{5} \\r\left(10\right)=\sqrt{10}=\sqrt{10} \\r\left(10,24 \right)=\sqrt{\frac{1024}{100}}=\frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{100}}=\frac{32}{10}=3,2 \\r\left(11\right)=\sqrt{11}=\sqrt{11}$