Dupa ce am definit notiunea de functie a venit vremea sa invatam sa trasam graficul unei functii, adica Reprezentarea geometrica a graficului pentru functia de gradul I.

Astazi discutam despre graficul unei functii si reprezentarea geometrica a graficului

Definitie. Functia de tipul f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b, unde a,b\in R se numeste functia liniara.

Daca a\neq 0, atunci functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b, se numeste functia de gradul I.

Reprezentarea geometrica a graficului unei functii liniare este o dreapta.

Distingem trei cazuri pentru functia de gradul I

1. Daca a\neq 0 si b=0, atunci functia f\left(x\right)=ax,  are ca reprezentare geometrica o dreapta care contine originea sistemului de coordonate.

2. Daca a=0 si b, functia liniara f\left(x\right)=0 este functia constant nula, a carei reprezentare geometrica este axa Ox.

3 Daca a=0 si n\neq 0, atunci functia f\left(x\right)=ax,  are ca reprezentare geometrica o dreapta care este paralela cu axa Ox.

Intersectia graficului unei functii de gradul I cu axele de coordonate:

Intersectia cu axa Ox

G_{f}\cap Ox calculam

f\left(x\right)=0

si are axele de coordonate A\left(\frac{-b}{a}, 0\right)

Deci avem:

G_{f}\cap Ox=A\left(\frac{-b}{a}, 0\right).

Intersectia cu axa Oy

G_{f}\cap Oy calculam

f\left(0\right)=b

si are axele de coordonate A\left(0,b\right)

Deci avem:

G_{f}\cap Ox=A\left(0,b\right).

Exercitiu :

1) Reprezentati grafic functiile:

f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x+1

Solutie :

Calculam mai intai

G_{f}\cap Ox, astfel avem:

f\left(x\right)=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1

Astfel am gasit A\left(-1, 0\right)

Calculam acum :

G_{f}\cap Oy, astfel calculam:

f\left(0\right)=1

Deci am gasit G_{f}\cap Oy=B\left(0, 1\right)

Astfel reprezentarea geometrica a functiei este:

Graficul unei functii

 

Observam ca graficul functiei este o dreapta, care contine cele doua puncte.

 

 

b) f:R\rightarrow R,f\left(x\right)=2x

Calculam mai intai :

G_{f}\cap Ox, astfel avem:

f\left(x\right)=0\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0

Astfel am gasit G_{f}\cap Ox= A\left(0, 0\right)

Calculam acum

G_{f}\cap Oy, astfel calculam:

f\left(0\right)=0

Deci am gasit G_{f}\cap Oy=B\left(0, 0\right)

Astfel reprezentarea geometrica a functiei este:
Cum trasam graficul unei  functii de gradul I
2) Determinati numarul real m pentru care punctul A\left(2; -3\right) apartine graficul functiei f:R\rightarrow R, f\left(x\right)\left(m-5\right)x+11
Solutie:
Ca sa gasim numarul real m pentru care punctul A apartine graficului functiei calculam:
f\left(x\right)=y\Rightarrow f\left(2\right)=-3\Rightarrow \left(m-5\right)\cdot 2+11=-3\Rightarrow 2m-10+11=-3\Rightarrow 2m+1=-3\Rightarrow 2m=-3-1\Rightarrow 2m=-4\Rightarrow m=\frac{-4}{2}\Rightarrow m=-2.
3) Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-\frac{4}{3}x+4
a) Reprezentati grafic functia
b) Calculati aria triunghiului determinat de graficul lui f si axele de coordonate
c) Determinati distanta de la originea sistemului de axe perpendiculare xOy la graficul functiei f.
Solutie:
a)Calculam mai intai

G_{f}\cap Ox, astfel avem:

f\left(x\right)=0\Rightarrow -\frac{4}{3}x+4=0\Rightarrow-\frac{4}{3}x=-4\Rightarrow -4x=-4\cdot 3\Rightarrow x=\frac{-4\cdot 3}{-4}\Rightarrow x=3

Astfel am gasit G_{f}\cap Ox= A\left(3, 0\right)

Calculam acum

G_{f}\cap Oy, astfel calculam:

f\left(0\right)=-\frac{4}{3}\cdot 0+4\Rightarrow f\left(0\right)=4

Deci am gasit G_{f}\cap Oy=B\left(0, 4\right)

Astfel reprezentarea geometrica a functiei este:
Cum reprezentam geometric o functie
Astfel dupa ce am reprezentat geometric o functie calculam aria.
Dupa cum bine observati triunghiul AOB este dreptunghic in O, dar acum trebuie sa aflam lungimea segmentelor AO si BO, astfel
a\left(4,0\right); O\left(0,0\right)
d\left(A,O\right)=\sqrt{\left(x_{O}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{O}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-3\right)^{2}+\left(0-0\right)^{2}}=\sqrt{\left(-3\right)^{2}+0}=\sqrt{9}=3 cm
Acum ca sa aflam distanta de la O la B, stim ca B\left(0,4\right)
Astfel
d\left(B, O\right)=\sqrt{\left(x_{O}-x_{B}\right)^{2}+\left(y_{O}-y_{B}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-4\right)^{2}+\left(0-0\right)^{2}}=\sqrt{\left(-4\right)^{2}+0}=\sqrt{16}=4 cm
Deci am gasit ca AO=3 cm si BO=4 cm.
Acum aplicam formul ariei pentru triunghiul dreptunghic si gasim:
A_{\Delta AOB}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{AO\cdot BO}{2}=\frac{3\cdot 4}{2}=\frac{12}{2}=6 cm^{2}
c) d\left(O, G_{f}\right)=d\left(O, AB\right)=AD
Deoarece stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta.
distanta de la originea sistemelor de axe la graficul functiei
Astfel stim ca Triunghiul AOB dreptunghic aplicam Teorema inaltimii, dar mai intai aflam AB, astfel in triunghiul AOB aplicam Teorema lui Pitagora
AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow AB^{2}=3^{2}+4^{2}\Rightarrow AB=\sqrt{9+16}\Rightarrow AB=\sqrt{25}\Rightarrow AB=5 cm.
Astfel
AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{AO\cdot BO}{AB}=\frac{3\cdot 4}{5}=\frac{12}{5}=2,4 cm

Lasă un răspuns