Graficul unei functii Reprezentarea geometrica a graficului

Dupa ce am definit notiunea de functie a venit vremea sa invatam sa trasam graficul unei functii, adica Reprezentarea geometrica a graficului pentru functia de gradul I.

Astazi discutam despre graficul unei functii si reprezentarea geometrica a graficului

Definitie. Functia de tipul $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b$ , unde $a,b\in R$ se numeste functia liniara.

Daca $a\neq 0$ , atunci functia $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b$ , se numeste functia de gradul I.

Reprezentarea geometrica a graficului unei functii liniare este o dreapta.

Distingem trei cazuri pentru functia de gradul I

1. Daca $a\neq 0$ si $b=0$ , atunci functia $f\left(x\right)=ax$ , are ca reprezentare geometrica o dreapta care contine originea sistemului de coordonate.

2. Daca $a=0$ si $b$ , functia liniara $f\left(x\right)=0$ este functia constant nula, a carei reprezentare geometrica este axa Ox.

3 Daca $a=0$ si $n\neq 0$ , atunci functia $f\left(x\right)=ax$ , are ca reprezentare geometrica o dreapta care este paralela cu axa Ox.

Intersectia graficului unei functii de gradul I cu axele de coordonate:

Intersectia cu axa Ox

$G_{f}\cap Ox$ calculam

$f\left(x\right)=0$

si are axele de coordonate $A\left(\frac{-b}{a}, 0\right)$

Deci avem:

$G_{f}\cap Ox=A\left(\frac{-b}{a}, 0\right)$ .

Intersectia cu axa Oy

$G_{f}\cap Oy$ calculam

$f\left(0\right)=b$

si are axele de coordonate $A\left(0,b\right)$

Deci avem:

$G_{f}\cap Ox=A\left(0,b\right)$ .

Exercitiu :

1) Reprezentati grafic functiile:

$f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x+1$

Solutie :

Calculam mai intai

$G_{f}\cap Ox$ , astfel avem:

$f\left(x\right)=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1$

Astfel am gasit $A\left(-1, 0\right)$

Calculam acum :

$G_{f}\cap Oy$ , astfel calculam:

$f\left(0\right)=1$

Deci am gasit $G_{f}\cap Oy=B\left(0, 1\right)$

Astfel reprezentarea geometrica a functiei este:

Observam ca graficul functiei este o dreapta, care contine cele doua puncte.

b) $f:R\rightarrow R,f\left(x\right)=2x$

Calculam mai intai :

$G_{f}\cap Ox$ , astfel avem:

$f\left(x\right)=0\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$

Astfel am gasit $G_{f}\cap Ox= A\left(0, 0\right)$

Calculam acum

$G_{f}\cap Oy$ , astfel calculam:

$f\left(0\right)=0$

Deci am gasit $G_{f}\cap Oy=B\left(0, 0\right)$

Astfel reprezentarea geometrica a functiei este:

2) Determinati numarul real m pentru care punctul $A\left(2; -3\right)$ apartine graficul functiei $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)\left(m-5\right)x+11$
Solutie:
Ca sa gasim numarul real m pentru care punctul A apartine graficului functiei calculam:
$f\left(x\right)=y\Rightarrow f\left(2\right)=-3\Rightarrow \left(m-5\right)\cdot 2+11=-3\Rightarrow 2m-10+11=-3\Rightarrow 2m+1=-3\Rightarrow 2m=-3-1\Rightarrow 2m=-4\Rightarrow m=\frac{-4}{2}\Rightarrow m=-2$ .
3) Fie functia $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-\frac{4}{3}x+4$
a) Reprezentati grafic functia
b) Calculati aria triunghiului determinat de graficul lui f si axele de coordonate
c) Determinati distanta de la originea sistemului de axe perpendiculare xOy la graficul functiei f.
Solutie:
a)Calculam mai intai

$G_{f}\cap Ox$ , astfel avem:

$f\left(x\right)=0\Rightarrow -\frac{4}{3}x+4=0\Rightarrow-\frac{4}{3}x=-4\Rightarrow -4x=-4\cdot 3\Rightarrow x=\frac{-4\cdot 3}{-4}\Rightarrow x=3$

Astfel am gasit $G_{f}\cap Ox= A\left(3, 0\right)$

Calculam acum

$G_{f}\cap Oy$ , astfel calculam:

$f\left(0\right)=-\frac{4}{3}\cdot 0+4\Rightarrow f\left(0\right)=4$

Deci am gasit $G_{f}\cap Oy=B\left(0, 4\right)$

Astfel reprezentarea geometrica a functiei este:

Astfel dupa ce am reprezentat geometric o functie calculam aria.
Dupa cum bine observati triunghiul AOB este dreptunghic in O, dar acum trebuie sa aflam lungimea segmentelor AO si BO, astfel
$a\left(4,0\right); O\left(0,0\right)$
$d\left(A,O\right)=\sqrt{\left(x_{O}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{O}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-3\right)^{2}+\left(0-0\right)^{2}}=\sqrt{\left(-3\right)^{2}+0}=\sqrt{9}=3 cm$
Acum ca sa aflam distanta de la O la B, stim ca $B\left(0,4\right)$
Astfel
$d\left(B, O\right)=\sqrt{\left(x_{O}-x_{B}\right)^{2}+\left(y_{O}-y_{B}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-4\right)^{2}+\left(0-0\right)^{2}}=\sqrt{\left(-4\right)^{2}+0}=\sqrt{16}=4 cm$
Deci am gasit ca AO=3 cm si BO=4 cm.
Acum aplicam formul ariei pentru triunghiul dreptunghic si gasim:
$A_{\Delta AOB}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{AO\cdot BO}{2}=\frac{3\cdot 4}{2}=\frac{12}{2}=6 cm^{2}$
c) $d\left(O, G_{f}\right)=d\left(O, AB\right)=AD$
Deoarece stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta.

Astfel stim ca Triunghiul AOB dreptunghic aplicam Teorema inaltimii, dar mai intai aflam AB, astfel in triunghiul AOB aplicam Teorema lui Pitagora
$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow AB^{2}=3^{2}+4^{2}\Rightarrow AB=\sqrt{9+16}\Rightarrow AB=\sqrt{25}\Rightarrow AB=5 cm$ .
Astfel
$AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{AO\cdot BO}{AB}=\frac{3\cdot 4}{5}=\frac{12}{5}=2,4 cm$

Graficul unei functii Reprezentarea geometrica a graficului

Astazi discutam despre graficul unei functii si reprezentarea geometrica a graficului

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii