Ne place matematica !

Intervale in R

Exercitiile cu intervale in R probabil le-ati mai intalnit si in alte clase, dar sub alta forma. De exemplu cand rezolvam inecuatiile obtineam multimea solutiilor ceva de genul x\geq 3, adica scriam x\in\left\{4,5,6,7......\right\}, dar acest lucru puteam sa-l scriem si sub alta forma astfel x\in \left(3; +\infty\right), ceea ce inseamna ca am scris solutia inecuatiei sub forma de interval, acesta ar fi un interval nemarginit.

Dar daca aveam doua inecuatii si trebuia sa scriem partea comuna a solutiilor, adica intersectia celor doua solutii, intersectia o putem scrie si sub forma interval, adica operatii cu intervale, dar despre asta o sa vorbim in alt articol.

Mai sus am mentionat notiunea de interval nemarginit,dar mai exista si intervale marginite, astfel definim:

Intervalele marginite sunt: intervale inchise si intervalele deschise
Fie a si b doua numere reale cu a\leq b.
Prin intervalul inchis \left[a, b\right] intelegem multimea A=\left\{x\in R| a\leq x\leq b\right\}, interval inchis adica tot timpul a trebuie sa fie mai mic sau egal decat x mai mic sau egal decat b tot timpul. Matematic scriem x\in \left[a,b\right]. Numerele a si b se numesc capetele intervalului sau extremitatile intervalului.

Exp:
Scrieti sub forma de interval multimea:
 A=\left\{x\in R|-5\leq x\leq 0\right\}
Solutia:x\in\left[-5; 0\right], reprezentand pe axa numerelor reale obtinem:
Interval inchis
Intervale deschise

Fie a si b doua numere reale cu  a<b.
Prin interval deschis \left(a,b\right) intelegem multimea A=\left\{x\in R| a<x<b\right\}, intervalul deschis, adica tot timpul ‘a’ trebuie sa fie mai mic strict decat ‘b’ tot timpul.
Obs: Diferenta dintre intervalul inchis si intervalul deschis este ca intervalul deschis nu-si contine capetele intervalului. Matematic scriem \left(a,b\right)\cup \left\{a,b\right\}=\left[a, b\right]
Exp: B=\left\{x\in R| -4<x<1\right\}

Solutia
x\in \left(-4; 1\right), deci daca este strict mai mic avem interval deschis, iar daca reprezentam pe axa numerelor reale obtinem:
Intervalul deschis al multimii B

Dar in afara de intervalele cu extremitatile dechise si inchise mai exista si intervale inchise la stanga deschise la dreapta si invers, astfel definim intervalul deschis la stanga inchis la dreapta:
<br /> \left(a,b\right]=\left\{x\in R| a<x\leq b\right\}<br /> , adica intervalul de mai sus nu-l contine pe ‘a’, dar il contine pe ‘b’.
Exp:
C=\left\{x\in R| 0<x\leq 4\right\}, atfel intervalul nostru este x\in \left(0;4\right]. Reprezentarea pe axa numerelor reale este:
Interval deschis la stanga inchis la dreapta

Iar intervalul inchis la stanga si deschis la dreapta il definim astfel:
\left[a,b\right)=\left\{x\in R| a\leq x<b\right\},
Adica x ‘se plimba’ in interval, iar intervalul de mai sus il contine pe ‘a’, dar nu-l contine pe’b’.
Exemplu:
D=\left\{x\in R| -4\leq x < 1\right\}, astfel intervalul nostru este: x\in \left[-4, 1\right). Reprezentarea pe axa numerelor reale este:
Interval inchis la stanga si deschis la dreapta.

Iar despre intervale nemarginite si mai multe exercitii o sa discutam in alt articol.
Deci ca sa intelegem foarte bine intervalele trebuie sa stim cum le definim si cum le reprezentam, deoarece mai tot timpul la Evaluarea Nationala apare cate un exercitiu in care sunt implicate intervale in R.