Mediana in triunghi Concurenta medianelor unui triunghi

Liniile importante in triunghi joaca un rol crucial in rezolvarea problemelor, astfel intr-un triunghi liniile importante sunt: mediana, mediatoarea,bisectoarea si inaltimea,  ,dar si mediana

Astfel, astazi, discutam despre mediana si incepem prin a defini notiunea de mediana:

Definitie: Segmentul care uneste un varf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse se numeste mediana.

cum definim mediana intr-un triunghi
Trebuie sa stim ca intr-un triunghi putem sa ducem trei mediane.
Daca construiti toate cele trei mediane intr-un triunghi o sa observati ca medianele sunt concurente, iar punctul lor de intersectie se noteaza cu G, numit centru de greutate al triunghiului.
cum sunt medianele intr-un triunghi
Deci e important sa retinem urmatoarea teorema :

Teorema. Medianele unui triunghi sunt concurente, iar punctul de intersectie se noteaza cu G, numit centru de greutate al triunghiului, fiind situat la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza.

Astfel avem: $latex \Delta ABC$ si avem $latex AM\cap BN\cap CP=\left\{G\right\}$, adica sunt concurente si punctul de intersectie se noteaza cu G.
Si mai stim si ca:
$latex AG=\frac{2}{3}\cdot AM$
$latex BG=\frac{2}{3}\cdot BN$
$latex CG=\frac{2}{3}\cdot CP$
Atentie intr-un triunghi oarecare medianele sunt concurente, dar nu si congruente (adica nu au aceiasi lungime)

Mai stimisi ca:
$latex GM=\frac{1}{3}\cdot AM$
$latex GN=\frac{1}{3}\cdot BN$
$latex GP=\frac{1}{3}\cdot CP$

Aplicatii:
1. Fie $latex \Delta ABC$, in care avem $latex [AB]\equiv[AC]$, iar $latex [BM], [CP]$ mediane. Aratati ca $latex [BM]\equiv[CP]$.
Astfel avem in ipoteza
Ipoteza: $latex \Delta ABC$

$latex [AB]\equiv[AC]$
$latex [BM], [CP]$ mediane.

Concluzie
$latex [BM]\equiv[CP]]$.
Demonstratie:
medianele intr-un triunghi isoscel
Astfel consideram triunghiurile:
$latex \Delta ABM$ si $latex \Delta ACP$, in care stim ca
$latex [AB]\equiv[AC]$ (din ipoteza, deoarece triunghiul ABC isoscel)
$latex [AM]\equiv[AP]$(cum $latex [AB]\equiv [AC]$, obtinem ceea ce am spus)
Dar si $latex \widehat{BAM}\equiv\widehat{CAP}$

Deci cu cazul de congruneta L.U.L, obtinem ca $latex \Delta ABM\equiv\Delta ACP$ si astfel obtinem si ca $latex [BM]\equiv [CP]$.

Deci trebuie sa remarcam ca medianele corespunzatoare laturilor congruente intr-un triunghi isoscel sunt congruente.

Nu acelasi lucru putem sa-l spunem si despre mediana corespunzatoare bazei intr-un triunghi isoscel.

Categories: , ,

Lasă un răspuns