Mediatoarea unui segment Mediatoarele laturilor unui triunghi

Despre mediatoare nu am mai discutat pana acum, dar trebuie sa stim ca face parte din liniile importante in triunghi alaturi de inaltime, mediana si bisecoare .Dupa cum bine stiti pana acum am invatat inaltimea , iar astazi o sa discutam despre mediatoarea unui segment Mediatoarele laturilor unui triunghi.

Definitie: Mediatoarea unui segemnt este perpendicularea construita prin mijlocul acestuia.

dreapta d este mediatoarea segmentului $\left[AB\right]$ .
Cu simboluri redactam:
$d\perp AB \\AB\cap d=\left\{O\right\}$
O este mijlocul segmentului $\left[AB\right]\Rightarrow$ d este mediatoarea segmentului $\left[AB\right]$ .
Teorema. Un punct apartien mediatoarei unui segment daca si numai daca este egal departat de capetele segmentului.
Mediatoarele laturilor unui segment
Deoarece stim ca orice triunghi are trei laturi, deducem ca putem duce in orice triunghi trei mediatoare.
Definitie. Mediatoarea unui triunghi este perpendiculara construita prin mijlocul segmentului.

Teorema. Intr-un triunghi mediatoarele sunt concurente, iar punctul de intersectie se noteaza cu O si se numeste centrul cercului circumscris.

In cazul triunghiului ascutitunghic punctul de intersecti al mediatoarelor, adica centrul cercului circumscris se afla in interiorul triunghiului.
In cazul unui triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei.
In cazul unui triunghi obtuzunghic centrul cercului circumscris este un punct in exteriorul triunghiului.

Problema:
In triunghiul ABC, dreptunghic in A si $m\left(\widehat{B}\right)=30^{0}$ , iar O este un punct pe ipotenuza BC, astfel incam $m\left(\widehat{BAO}\right)=30^{0}$ . Demonstrati ca $\left[BO\right]=\left[CO\right]$
Demonstratie

In triunghiul ABC dreptunghic in A stim casura unghiului B, si putem sa aflam masura unghiului C, astfel avem

$m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow$

$90^{0}+30^{0}+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow$ $m\left(\widehat{C}\right)=60^{0}$
Din ipoteza problemei stim ca $m\left(\widehat{BAO}\right)=30^{0}$ , deci in triunghiul AOB stim ca
$m\left(\widehat{BAO}\right)=m\left(\widehat{ABO}\right)=30^{0}$ si astfel aflam ca masura unghiului
$m\left(\widehat{AOB}\right)=120^{0}$ , deci triunghiul AOB este isoscel.
Adica
$\left[AO\right]\equiv\left[BO\right]$ (*)
Stim ca masura unghiului A este de 90 de grade, dar din ipoteza stim si $m \left(\widehat{BAO}\right)=30^{0}$ , deci putem sa aflam $m\left(\widehat{CAO}\right)=m\left(\widehat{A}\right)-m\left(\widehat{BAO}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{CAO}\right)=90^{0}-30^{0}=60^{0}$ , deci
$m\left(\widehat{CAO}\right)=60^{0}$ .
Stim ca si $m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}$ , deci gasim ca si
$m\left(\widehat{AOC}\right)60^{0}$ , astfel triunghiul ACO este echilateral.
Avem ca
AO=CO=AC
Adica
$\left[AO\right]\equiv\left[CO\right]$
Din (*) stim ca
$\left[AO\right]\equiv\left[BO\right]$
Cu tranzitivitatea gasim ca $\left[BO\right]=\left[CO\right]$
2) Fie M si N puncte de o parte si de alta a segmentului $\left[AB\right]$ . Se stie ca $\left[AM\right]\equiv\left[BM\right]$ si $\left[AN\right]\equiv\left[BN\right], MN\cap AB=\left\{O\right\}$ . Demonstrati ca MN este mediatoarea segmentului $\left[AB\right]$

Ca sa aratam ca MN este mediatoarea segmentului $\left[AB\right]$ luam triunghiurile MAN si MBN, astfel
$\Delta MAN \\ \Delta MBN:$
$\left[MA\right]\equiv\left[MB\right]$ (din ipoteza)
$\left[NA\right]\equiv\left[NB\right]$ (din ipoteza)
$\left[MN\right]\equiv\left[MN\right]$ (din figura)
Deci cu cazul L.L.L $\Delta MAN\equiv\Delta MBN$ .

Deci stim si ca unghiurile sunt congruente:

$\widehat{AMN}\equiv\widehat{BMN}$

$\widehat{MAN}\equiv\widehat{MBN}$

$\widehat{ANM}\equiv\widehat{BNM}$

Dar aratam si ca

$\Delta MAO\equiv \Delta MBO$ :

$\left[MA\right]\equiv \left[MB\right]$ (din ipoteza)

$\left[MO\right]\equiv\left[MO\right]$ (latura comuna)

$\widehat{AMN}\equiv\widehat{BMN}\Rightarrow \\ \widehat{AMO}\equiv\widehat{BMO}$

Deci gasim cu cazul L.U.L ca $Delta MAO\equiv\Delta MBO$ .

Astfel gasim si ca $\left[AO\right]=\left[BO\right]$ , deci O este mijlocul segmentului AB.

Am aratat ca MO este mijlocul segmentului $\left[AO\right]\equiv\left[BO\right]$ (*).

Acum sa aratam ca MO este perpendiculara segmentului $\left[AO\right]\equiv\left[BO\right]$ .

Stim ca $Delta MAO\equiv\Delta MBO$ , deci

$\widehat{MOA}\equiv\widehat{MOB}$ , adica notam

$m\left(\widehat{MAO}\right)=m\left(\widehat{MOB}\right)=x$

Dar stim

$m\left(\widehat{MAO}\right)+m\left(\widehat{MOB}\right)=180^{0}\Rightarrow x+x=180^{0}\Rightarrow 2x=180^{0}\Rightarrow x=180^{0}:2\Rightarrow x=90^{0}$ .