Model cu subiecte simulare matematica clasa a XI-a 2014

Prezentam un model cu subiecte simulare matematica clasa a XI-a 2014 pentru prima parte.

Dupa cum bine stiti progresiile joaca un rol important pentru examenul de Bacalaureat. Din acest motiv o sa calculam suma mai multor numere naturale cu ajutorul progresiei aritmetice

1. Sa se calculeze suma $1+3+5+...+21$ 2.

2.Sa se demonstreze ca ecuatia $x^{2}-2x+1+a^{2}=0$ nu admite solutii reale, oricare ar fi $a\in R^{*}$ .

3. Sa se determine valorile reale ale lui m, stiind ca valoarea minima a functiei

$f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-mx+m-1$ este egal cu $-\frac{1}{4}$ . 4.

4. Sa se ordoneze crescator numerele $\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}, 64, \sqrt[3]{8}$ .

5. Fie ABC un triunghi echilateral inscris intr-un cerc de centru O. Sa se calculeze $\vec{AB}+\vec{AC}-3\vec{AO}$

6. Sa se calculeze aria triunghiului ABC stiind ca $AB=\sqrt{3}, AC=3\;\;\; si \;\;\;m\left(\widehat{A}\right)=120^{0}$ .

Solutii pentru aceste modele cu subiecte simulare matematica clasa a XI-a

1) Observam ca termenii de mai sus sunt in progresie aritmetica, adica cel de-al doilea termen se obtine din cel precedent prin adaugarea ratiei, astfel ratia progresiei este $r=a_{2}-a_{1}=3-1=2$

Acum calculam $a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 21=1+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 21-1=\left(n-1\right)\cdot 2\Rightarrow 20=\left(n-1\right)\cdot 2\Rightarrow 20:2=n-1\Rightarrow 10=n-1\Rightarrow 10+1=n\Rightarrow n=11$

Mai stim ca $S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}$ intr-o progresie aritmetica in cazul nostru obtinem $S_{11}=\frac{\left(1+21\right)\cdot 11}{2}=\frac{22\cdot 11}{2}=\frac{11\cdot 11}{1}=121$

2. Dupa cum bine stiti inca din clasa a IX-a o ecuatie are solutii reale daca $\Delta \geq 0$ .

Ca sa observam daca ecuatia are solutii reale calculam Delta, iar daca Delta este mai mare ca 0, atunci ecuatia are solutii reale. $\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(1+a^{2}\right)=4-4-4a^{2}=-4a^{2}<0, forall a\in R^{0}$ , deci ecuatia nu are solutii reale.

3. Valoarea minima a functiei de mai sus se calculeaza cu ajutorul graficului unei functii $\frac{-\Delta}{4a}$

Astfel calculam mai intai $\Delta=\left(-m\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(m-1\right)=m^{2}-4m+4=\left(m-2\right)^{2}$ Dar stim ca valoarea minima a functiei este egala cu $-\frac{1}{4}$

Deci avem $\frac{-\left(m-2\right)^{2}}{4\cdot 1}=-\frac{1}{4}\Rightarrow -4\left(m-2\right)^{2}=-4\Rightarrow \left(m-2\right)^{2}=\frac{-4}{-4}\Rightarrow \left(m-2\right)^{2}=1\Rightarrow m-2=\pm\sqrt{1} \\m-2=1\Rightarrow m=3 \\m-2=-1\Rightarrow m=2-1\Rightarrow m=1$

4. Ordonarea numerelor am invatat-o inca din clasele mai mici, iar pentru numerele de mai sus trebuie sa tinem cont de regulile de calcul cu exponenti intregi, dar si radicali de ordin diferit.

Ca sa ordonam crescator numerele mai intai pe unde se poate le transforma in numere mai simple, astfel avem: $\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=\\frac{1}{\left(\frac{1}{4}\right)^{2}}=\frac{1}{1}:\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{1}\cdot 4^{2}=4^{2}=16$ 64 este numar natural deci ramane asa cum este, acum mai avem $\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^{3}}=2$

Acum daca le ordonam crescator avem $2, 16, 64$ , adica $\sqrt[3]{8}; \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}, 64$ .

5. Ca sa calculam vectorii de mai sus aplicam regula triunghiului de mai multe ori , dar si pozitia centrului medianelor intr-un triunghi. Acum, in triunghiul ABD, aplicam regula triunghiului astfel obtinem: $\vec{AB}=\vec{AD}+\vec{DB}$

Aplicam regula triunghiului si in triunghiul $\Delta ADC$ , astfel avem ca:

$\vec{AC}=\vec{AD}+\vec{DC}$ Daca adunam cele doua relatii obtinem

$\vec{AB}+\vec{AC}=2\vec{AD}$

Dar mai stim ca $\vec{AO}=\frac{2}{3}\vec{AD}\Rightarrow \vec{AD}=\frac{3}{2}\vec{AO}$

Dar stim ca $\vec{AD}=\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2}$

Acum daca inlocuim AD mai sus gasim ca $\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2}=\frac{3}{2}\vec{AO}\Rightarrow \frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2}\cdot \frac{2}{3}=\vec{AO}\Rightarrow \frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{3}=\vec{AO}\Rightarrow \vec{AB}+\vec{AC}=3\vec{AO}$

Acum din relatia pe care o avem mai sus stim ca $\vec{AB}+\vec{AC}-3\vec{AO}=3\vec{AO}-3\vec{AO}=0$

6. Acum sa calculam aria triunghiului ABC, stim inca din clasa a VII-a ca $A_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin\widehat{A}}{2}$

Dar mai intai aflam care este valoare unghiului sinus. Astfel suntem in cadranul II, deci facem reducerea la primul cadran:

$\frac{120^{0}}{360^{0}}=\frac{\alpha}{2\pi}\Rightarrow \frac{1}{3}\cdot 2\pi=\alpha\Rightarrow \alpha=\frac{2\pi}{3}$ Astfel gasim ca $\sin \frac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\frac{2\pi}{3}\right)=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$