Dupa ce am invatat ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor naturale, astazi o sa discutam despre Ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor rationale.

Deci pe multimea numerelor rationale pozitie definim operatiile: adunarea numerelor rationale, scaderea numerelor rationale, inmultirea numerelor rationale impartirea numerelor rationale si ridicarea la putere cu exponent naturala unui numar rational.

Ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor este aceeasi ca si la multimea numerelor naturale, adica prima data intr-un exercitiu mai intai
– se efctueaza ridicarea la putere, inmultirile si impartirile adunarea si scaderea in ordinea in care apar
– daca intr-un exercitiu exista si paranteze rotunde, drepte si acolade se efectueaaza prima data paranteza rotunda, apoi cea dreapta si ultima data acolada.

Exemplu:
1) Efectuati:
a) \frac{7}{5}+3^{2}\cdot\left(5-3\cdot\frac{2}{12}\right)=  \frac{7}{5}+9\cdot\left(5-\frac{3\cdot 2}{12}\right)=  \frac{7}{5}+9\cdot\left(5-\frac{6}{12}\right)=  \frac{7}{5}+9\cdot\left(5-\frac{1}{2}\right)=  \frac{7}{5}+9\cdot\frac{2\cdot 5-1\cdot 1}{2}=  \frac{7}{5}+9\cdot\frac{10-1}{2}=\frac{7}{5}+9\cdot\frac{9}{2}=  \frac{7}{5}+\frac{81}{2}=\frac{2\cdot 7+5\cdot 81}{10}=\frac{14+405}{10}=\frac{449}{10}=44,9

b) \left[\frac{1}{3}+\frac{1}{3}:\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]:\frac{3}{2}=  \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}:\frac{3\cdot 1-1\cdot 1}{3}\right):\frac{3}{2}=  \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}:\frac{3-1}{3}\right):\frac{3}{2}=  \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\right):\frac{3}{2}=  \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right):\frac{3}{2}=  \frac{2\cdot 1+3\cdot 1}{6}:\frac{3}{2}=  \frac{2+3}{6}:\frac{3}{2}=  \frac{5}{6}\cdot\frac{2}{3}=  \frac{5}{9}

La exercitiul b) am tinut cont de ordinea efectuarii operatiilor dar si de paranteze, adica mai intai am efectuat scaderea in paranteza rotunda, apoi paranteza dreapta s-a transformata in paranteza rotunda si am efectuat impartirea rezultata din noua paranteza rotunda. De unde am obtinut din nou o adunare pe care am efectuat-o cu regula pe care am invatat-o la adunarea numerelor rationale pozitive, iar apoi am folosit si impartirea numerelor rationale pozitive, dar si inmultirea numerelor rationale pozitive, pe unde am putut am si simplificat.

c) 21\frac{1}{5}:\left(7\frac{1}{5}-3\frac{1}{10}+6\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{5}{2}-\frac{5}{9}\right):\frac{1}{27}=  \frac{21\cdot 5+1}{5}:\left(\frac{7\cdot 5+1}{5}-\frac{3\cdot 10+1}{10}+\frac{6\cdot 2+1}{2}\right)+\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{9\cdot 5-2\cdot 5}{18}\right):\frac{1}{27}=  \frac{106}{5}:\left(\frac{36}{5}-\frac{31}{10}+\frac{13}{2}\right)+\frac{2}{3}\cdot \frac{45-10}{18}:\frac{1}{27}=  \frac{106}{5}:\left(\frac{2\cdot 36-1\cdot 31+5\cdot 13}{10}\right)+\frac{2}{3}\cdot \frac{35}{18}:\frac{1}{27}=  \frac{106}{5}:\left(\frac{72-31+65}{10}\right)+\frac{1}{3}\cdot\frac{35}{9}\cdot\frac{27}{1}=  \frac{106}{5}:\frac{106}{10}+\frac{35}{27}\cdot\frac{27}{1}=  \frac{106}{5}\cdot\frac{10}{106}+\frac{35}{1}\cdot\frac{1}{1}=  \frac{1}{1}\cdot\frac{2}{1}+\frac{35}{1}=  \frac{2}{1}+\frac{35}{1}=37

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai am introdus intregii in fractii, apoi in paranteza am adus la acelasi numitor comun si am efectuat calculele, folosind atat adunarea numerelor rationale pozitive cat si inmultirea si impartirea numerelor rationale pozitive.

Foarte important ;Putem sa simplificam doar cand avem inmultire sau impartire.