Piramida regulata

Despre piramida regulata am discutat, dar astazi o sa invatam sa calculam Aria laterala, Aria totala si Volumul unei piramide regulate. Astfel incepem prin a defini Piramida regulata:

Piramida reguata are baza poligon regulat, iar proiectia ortogonala a varfului V pe planul bazei este centrul O al poligonului de baza.

Muchiile laterale ale unei piramide regulate sunt congruente.

Segmentul determinat de varful piramidei si mijlocul unei muchii a bazei se numeste apotema piramidei.

Orice apotema a piramidei este perpendiculara pe muchia respectiva a bazei.

Baza piramidei triunghiulara regulata este triunghi echilateral.
$VM=a_{p}$ se numeste apotema piramidei
$OM=a_{b}$ se numeste apotema bazei
VO=h se numeste lungimea inaltimea piramidei.
AB- lungimea muchiei bazei piramidei
$P_{b}$ se numeste perimetrul bazei
$A_{l}$ se numeste aria laterala
$A_{b}$ se numeste aria bazei
$A_{t}$ se numeste aria totala a piramidei.
Scriem mai inati formulele standard pentru orice piramida, astfel avem:
$A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$
$A_{t}=A_{l}+A_{b}=\frac{P_{b}\left(a_{p}+a_{b}\right)}{2}$
$V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}$

Mai putem afla si apotema piramidei, daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul VOM, astfel obtinem $a_{p}^{2}=h^{2}+a_{b}^{2}\Rightarrow a_{p}=\sqrt{h^{2}+a_{b}^{2}}$ .

In cazul in care piramida este triunghiulara formulele devin
$A_{l}=\frac{3l\cdot a_{p}}{2}$
$A_{t}=\frac{3l\left(a_{p}+a_{b}\right)}{2}$
sau $A_{t}=\frac{3l\cdot a_{p}}{2}+\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$
$V=\frac{3l\cdot h}{3}$ .

Aplicatie
O piramida patrulater regulata are $AB=8\sqrt{2} cm$ , iar sectiunea diagonale este echivalenta cu baza.

Calculati
a) lungimea inaltimii piramidei

b) $\sin\widehat{\left(VAB\right),\left(VBC\right)}$
Demonstratie

Stim din ipoteza ca sectiunea diagonala este echivalenta cu baza, adica
$A_{\Delta VAC}=A_{ABCD}\Rightarrow \frac{AC\cdot VO}{2}=AB^{2}\Rightarrow \frac{8\sqrt{2}\sqrt{2}\cdot VO}{2}=\left(8\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow \frac{16\cdot VO}{2}=64\cdot 2\Rightarrow 8\cdot VO=64\cdot 2\Rightarrow VO=\frac{64\cdot 2}{8}\Rightarrow VO=\frac{128}{8}\Rightarrow VO=16 cm$
b) $\sin\widehat{\left(VAB\right),\left(VBC\right)}$

Observam ca VB este muchia comuna celor doua plane, deci ducem perpendiculara din A pe VB si perpendiculara din C pe VB, astfel gasim
$AT\perp VB \\CT\perp VB\Rightarrow \sin\widehat{\left(VAB\right),\left(VBC\right)}=\sin \widehat{AT, CT}=\sin\widehat{ATC}$

In triunghiul VCO dreptunghic in O aplicam Teorema lui Pitagora
$VC^{2}=VO^{2}+OC^{2}\Rightarrow VC^{2}=16^{2}+8^{2}\Rightarrow VC=\sqrt{256+64}\Rightarrow VC=\sqrt{320}\Rightarrow VC=8\sqrt{5}$ .

Acum in triunghiul VOM aplicam Teorema lui Pitagora
$VM^{2}=VO^{2}+OM^{2}\Rightarrow VM^{2}=16^{2}+\left(4\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow VM=\sqrt{256+32}\Rightarrow VM=\sqrt{288}\Rightarrow VM=12\sqrt{2}cm.$
Acum ca sa aflam CT aplicam de doua ori formula ariei o data considerand baza BC, iar apoi considerand baza VB, iar apoi le egalam
$A_{\Delta VBC}=A_{\Delta CVB}\Rightarrow \frac{BC\cdot VM}{2}=\frac{VB\cdot CT}{2}\Rightarrow 8\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}=8\sqrt{5}\cdot CT\Rightarrow CT=\frac{8\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}}{8\sqrt{5}}\Rightarrow CT=\frac{12\cdot 2}{\sqrt{5}}\Rightarrow CT=\frac{24\sqrt{5}}{5}$ .

La fel gasim si AT, deci gasim ca triunghiul ATC ete isoscel si ca sa aplicam functiile trigonometrice trebuie sa avem triunghi dreptunghic astfel ducem inaltimea din T pe baza AC, astfel aplicam in triunghiul ATE Teorema lui Pitagora $AE^{2}=AT^{2}-AE^{2}\Rightarrow AE^{2}=\left(\frac{24\sqrt{5}}{5}\right)^{2}-8^{2}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{576\cdot 5}{25}-64}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{576}{5}-64}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{1\cdot 576-5\cdot 64}{5}}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{576-320}{5}}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{256}{5}}\Rightarrow AE=\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{5}}\Rightarrow AE=\frac{16}{\sqrt{5}}\Rightarrow AE=\frac{16\sqrt{5}}{5}$ .

Ducem si perpendiculara din A pe TC si
aplicam formula ariei de doua ori in triunghiul ATC si le egalam
$A_{\Delta TAC}=A_{\Delta ATC}\Rightarrow \frac{AC\cdot AE}{2}=\frac{TC\cdot AF}{2}\Rightarrow\frac{16\cdot\frac{16\sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{\frac{24\sqrt{5}}{5}\cdot AF}{2}\Rightarrow \frac{256\sqrt{5}}{5}=\frac{24\sqrt{5}}{5}\cdot AF\Rightarrow AF=\frac{\frac{256\sqrt{5}}{5}}{\frac{24\sqrt{5}}{5}}\Rightarrow AF=\frac{256\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{5}{24\sqrt{5}}\Rightarrow AF=\frac{32}{3}$

Acum putem aplica
$\sin\widehat{ATF}=\frac{AF}{AT}=\frac{\frac{32}{3}}{\frac{24\sqrt{5}}{5}}=\frac{32}{3}:\frac{24\sqrt{5}}{5}=\frac{32}{3}\cdot \frac{5}{24\sqrt{5}}=\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{3\sqrt{5}}=\frac{20}{9\sqrt{5}}=\frac{20\sqrt{5}}{9\cdot 5}=\frac{4\sqrt{5}}{9}$ .

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii