Despre piramida regulata am discutat, dar astazi o sa invatam  sa calculam Aria laterala, Aria totala si Volumul  unei piramide regulate. Astfel incepem prin a defini Piramida regulata:

Piramida reguata are baza poligon regulat, iar proiectia ortogonala a varfului V pe planul bazei este centrul O al poligonului de baza.

Muchiile laterale ale unei piramide regulate sunt congruente.

Segmentul determinat de varful piramidei si mijlocul unei muchii a bazei se numeste apotema piramidei.

Orice apotema a piramidei este perpendiculara pe muchia respectiva a bazei.

Cum arata o piramida triunghiular regulata
Baza piramidei triunghiulara regulata este triunghi echilateral.
VM=a_{p} se numeste apotema piramidei
OM=a_{b} se numeste apotema bazei
VO=h se numeste lungimea inaltimea piramidei.
AB- lungimea muchiei bazei piramidei
P_{b} se numeste perimetrul bazei
A_{l} se numeste aria laterala
A_{b} se numeste aria bazei
A_{t} se numeste aria totala a piramidei.
Scriem mai inati formulele standard pentru orice piramida, astfel avem:
A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
A_{t}=A_{l}+A_{b}=\frac{P_{b}\left(a_{p}+a_{b}\right)}{2}
V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}

Mai putem afla si apotema piramidei, daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul VOM, astfel obtinem a_{p}^{2}=h^{2}+a_{b}^{2}\Rightarrow a_{p}=\sqrt{h^{2}+a_{b}^{2}}.

In cazul in care piramida este triunghiulara formulele devin
A_{l}=\frac{3l\cdot a_{p}}{2}
A_{t}=\frac{3l\left(a_{p}+a_{b}\right)}{2}
sau A_{t}=\frac{3l\cdot a_{p}}{2}+\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}
V=\frac{3l\cdot h}{3}.

Aplicatie
O piramida patrulater regulata are AB=8\sqrt{2} cm, iar sectiunea diagonale este echivalenta cu baza.

Calculati
a) lungimea inaltimii piramidei

b) \sin\widehat{\left(VAB\right),\left(VBC\right)}
Demonstratie
Cum aflam sectiunea diagonala intr-o piramida patrulatera

Stim din ipoteza ca sectiunea diagonala este echivalenta cu baza, adica
A_{\Delta VAC}=A_{ABCD}\Rightarrow \frac{AC\cdot VO}{2}=AB^{2}\Rightarrow \frac{8\sqrt{2}\sqrt{2}\cdot VO}{2}=\left(8\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow \frac{16\cdot VO}{2}=64\cdot 2\Rightarrow 8\cdot VO=64\cdot 2\Rightarrow VO=\frac{64\cdot 2}{8}\Rightarrow VO=\frac{128}{8}\Rightarrow VO=16 cm
b) \sin\widehat{\left(VAB\right),\left(VBC\right)}

Observam ca VB este muchia comuna celor doua plane, deci ducem perpendiculara din A pe VB si perpendiculara din C pe VB, astfel gasim
AT\perp VB  \\CT\perp VB\Rightarrow  \sin\widehat{\left(VAB\right),\left(VBC\right)}=\sin \widehat{AT, CT}=\sin\widehat{ATC}

In triunghiul VCO dreptunghic in O aplicam Teorema lui Pitagora
VC^{2}=VO^{2}+OC^{2}\Rightarrow VC^{2}=16^{2}+8^{2}\Rightarrow VC=\sqrt{256+64}\Rightarrow VC=\sqrt{320}\Rightarrow VC=8\sqrt{5}.

Acum in triunghiul VOM aplicam Teorema lui Pitagora
VM^{2}=VO^{2}+OM^{2}\Rightarrow VM^{2}=16^{2}+\left(4\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow VM=\sqrt{256+32}\Rightarrow VM=\sqrt{288}\Rightarrow VM=12\sqrt{2}cm.
Acum ca sa aflam CT aplicam de doua ori formula ariei o data considerand baza BC, iar apoi considerand baza VB, iar apoi le egalam
A_{\Delta VBC}=A_{\Delta CVB}\Rightarrow \frac{BC\cdot VM}{2}=\frac{VB\cdot CT}{2}\Rightarrow 8\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}=8\sqrt{5}\cdot CT\Rightarrow CT=\frac{8\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}}{8\sqrt{5}}\Rightarrow CT=\frac{12\cdot 2}{\sqrt{5}}\Rightarrow CT=\frac{24\sqrt{5}}{5}.

La fel gasim si AT, deci gasim ca triunghiul ATC ete isoscel si ca sa aplicam functiile trigonometrice trebuie sa avem triunghi dreptunghic astfel ducem inaltimea din T pe baza AC, astfel aplicam in triunghiul ATE Teorema lui Pitagora AE^{2}=AT^{2}-AE^{2}\Rightarrow AE^{2}=\left(\frac{24\sqrt{5}}{5}\right)^{2}-8^{2}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{576\cdot 5}{25}-64}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{576}{5}-64}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{1\cdot 576-5\cdot 64}{5}}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{576-320}{5}}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{256}{5}}\Rightarrow AE=\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{5}}\Rightarrow AE=\frac{16}{\sqrt{5}}\Rightarrow AE=\frac{16\sqrt{5}}{5}.

Ducem si perpendiculara din A pe TC si
aplicam formula ariei de doua ori in triunghiul ATC si le egalam
A_{\Delta TAC}=A_{\Delta ATC}\Rightarrow \frac{AC\cdot AE}{2}=\frac{TC\cdot AF}{2}\Rightarrow\frac{16\cdot\frac{16\sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{\frac{24\sqrt{5}}{5}\cdot AF}{2}\Rightarrow \frac{256\sqrt{5}}{5}=\frac{24\sqrt{5}}{5}\cdot AF\Rightarrow AF=\frac{\frac{256\sqrt{5}}{5}}{\frac{24\sqrt{5}}{5}}\Rightarrow AF=\frac{256\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{5}{24\sqrt{5}}\Rightarrow AF=\frac{32}{3}

Acum putem aplica
\sin\widehat{ATF}=\frac{AF}{AT}=\frac{\frac{32}{3}}{\frac{24\sqrt{5}}{5}}=\frac{32}{3}:\frac{24\sqrt{5}}{5}=\frac{32}{3}\cdot \frac{5}{24\sqrt{5}}=\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{3\sqrt{5}}=\frac{20}{9\sqrt{5}}=\frac{20\sqrt{5}}{9\cdot 5}=\frac{4\sqrt{5}}{9}.
Cum aflam sinusul unghiului a doua plane

Lasă un răspuns