Sa rezolvam o problema despre asemanarea triunghiurilor intr-un paralelogram

In paralelogramul ABCD,o paralela la diagonala \left[AC\right] taie laturile \left[AB\right] si \left[BC\right] respectiv in M si N.

a)Sa se demostreze ca \Delta BMN\sim\Delta DCA.

b)Daca MN intersecteaza dreapta AD in P si dreapta DC in Q,atunci  \Delta APM\sim\Delta CNQ.

Demonstratie:

 

Problema rezolvata cu asemanarea triunghiurilor

a) AC diagonala, stim din ipoteza ca MN||AC si cu teorema fundamentala a asemanarii stim ca \Delta BMN\sim \Delta BAC. Stim ca
\widehat{MBN}\equiv\widehat{ABC}
\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}.
Dar mai observam si ca
\Delta BAC\equiv\Delta DAC  \\ \left[AB\right]\equiv\left[DC\right]  \\ \left[DA\right]\equiv\left[CB\right]  \\ \left[AC\right]\equiv\left[AC\right]
Si cu cazul de congruenta L.L.L, cele doua triunghiuri sunt congruente.
Mai sus am gasit ca
\Delta MNB\sim\Delta ACB
Dar stim si ca \Delta ACB\equiv\Delta ACD
Deci gasim ca \Delta MNB\sim \Delta ACD.

b) \Delta APM\sim\Delta CNQ

Asemanarea triunghiurilor
Observam ca PQ este secanta, deci
\widehat{PMA}\equiv\widehat{NQC}(ca unghiuri corespondente)
ASEMANAREA TRIUNGHIURILOR
Dar mai observam si ca DA||BC, mai mult DP||BC si PN sau PQ secanta, deoarece intersecteaza dreapta AD in punctul P si dreapta BC o taie in punctul N, astfel PN secanta. Observam ca
\widehat{APM}\equiv\widehat{CNQ} (ca unghiuri corespondente)
Deci observam ca cu cazul de asemanare u.u cele doua triunghiuri sunt asemenea.
ASEMANAREA TRIUNGHIURILOR - Copy
Figura ca sa o intelegem
figura exemplificata

Sau

Observam ca AM||DQ, iar cu Teorema fundamentala a asemanarii gasim:
\frac{PA}{PD}=\frac{PM}{PQ}=\frac{AM}{DQ}(*)
Dar si CN||DP, deci putem aplica Teorema fundamentala a asemanarii
\frac{QC}{QD}=\frac{QN}{QP}=\frac{CN}{PD}(**)
Observam ca
Prima fractie si cea de-a treia din (*) si (**) gasim ca:
\frac{PA}{PD}=\frac{CN}{PD}\Rightarrow\frac{PA}{CN}=\frac{PD}{PD}\Rightarrow\frac{PA}{CN}=1 (adica au acelasi numitor)
Acum daca egalam relatiile din mijloc (*) si (**)
\frac{PM}{PQ}=\frac{QN}{QP}\Rightarrow \frac{PM}{QN}=\frac{PQ}{QP}\Rightarrow\frac{PM}{QN}=1
Iar acum daca egalam
\frac{AM}{DQ}=\frac{QC}{QD}\Rightarrow \frac{AM}{QC}=\frac{DQ}{DQ}\Rightarrow \frac{AM}{QC}=1
Astfel gasim ca
\frac{PA}{CN}=\frac{PM}{QN}=\frac{AM}{QC}.
Deci cu cazul de asemanare l.l.l \Delta APM\sim\Delta CNQ.

Lasă un răspuns