Problema rezolvata cu asemanarea triunghiurilor intr-un paralelogram

Sa rezolvam o problema despre asemanarea triunghiurilor intr-un paralelogram

In paralelogramul ABCD,o paralela la diagonala $\left[AC\right]$ taie laturile $\left[AB\right]$ si $\left[BC\right]$ respectiv in M si N.

a)Sa se demostreze ca $\Delta BMN\sim\Delta DCA$ .

b)Daca MN intersecteaza dreapta AD in P si dreapta DC in Q,atunci $\Delta APM\sim\Delta CNQ$ .

Demonstratie:

a) AC diagonala, stim din ipoteza ca MN||AC si cu teorema fundamentala a asemanarii stim ca $\Delta BMN\sim \Delta BAC$ . Stim ca
$\widehat{MBN}\equiv\widehat{ABC}$
$\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}$ .
Dar mai observam si ca
$\Delta BAC\equiv\Delta DAC \\ \left[AB\right]\equiv\left[DC\right] \\ \left[DA\right]\equiv\left[CB\right] \\ \left[AC\right]\equiv\left[AC\right]$
Si cu cazul de congruenta L.L.L, cele doua triunghiuri sunt congruente.
Mai sus am gasit ca
$\Delta MNB\sim\Delta ACB$
Dar stim si ca $\Delta ACB\equiv\Delta ACD$
Deci gasim ca $\Delta MNB\sim \Delta ACD$ .

b) $\Delta APM\sim\Delta CNQ$

Observam ca PQ este secanta, deci
$\widehat{PMA}\equiv\widehat{NQC}$ (ca unghiuri corespondente)

Dar mai observam si ca DA||BC, mai mult DP||BC si PN sau PQ secanta, deoarece intersecteaza dreapta AD in punctul P si dreapta BC o taie in punctul N, astfel PN secanta. Observam ca
$\widehat{APM}\equiv\widehat{CNQ}$ (ca unghiuri corespondente)
Deci observam ca cu cazul de asemanare u.u cele doua triunghiuri sunt asemenea.

Figura ca sa o intelegem

Observam ca AM||DQ, iar cu Teorema fundamentala a asemanarii gasim:
$\frac{PA}{PD}=\frac{PM}{PQ}=\frac{AM}{DQ}(*)$
Dar si CN||DP, deci putem aplica Teorema fundamentala a asemanarii
$\frac{QC}{QD}=\frac{QN}{QP}=\frac{CN}{PD}(**)$
Observam ca
Prima fractie si cea de-a treia din (*) si (**) gasim ca:
$\frac{PA}{PD}=\frac{CN}{PD}\Rightarrow\frac{PA}{CN}=\frac{PD}{PD}\Rightarrow\frac{PA}{CN}=1$ (adica au acelasi numitor)
Acum daca egalam relatiile din mijloc (*) si (**)
$\frac{PM}{PQ}=\frac{QN}{QP}\Rightarrow \frac{PM}{QN}=\frac{PQ}{QP}\Rightarrow\frac{PM}{QN}=1$
Iar acum daca egalam
$\frac{AM}{DQ}=\frac{QC}{QD}\Rightarrow \frac{AM}{QC}=\frac{DQ}{DQ}\Rightarrow \frac{AM}{QC}=1$
Astfel gasim ca
$\frac{PA}{CN}=\frac{PM}{QN}=\frac{AM}{QC}$ .
Deci cu cazul de asemanare l.l.l $\Delta APM\sim\Delta CNQ$ .

Problema rezolvata cu asemanarea triunghiurilor intr-un paralelogram

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii