Prezentam

Probleme rezolvate Cum aflam lungimea unei diagonale intr-un romb? Cum aflam masura unghiurilor unui romb?

1) Rombul ABCD are perimetrul egal cu 14 cm . Stiind ca m\left(\widehat{ADC}\right) = 120^{0} , aflati  lungimea diagonalei \left[BD\right]

Demonstratie.

perimetrul unui romb
Stim ca perimetrul rombului este de 14 cm, astfe
P_{ABCD}=14 cm\Rightarrow 4l=14 cm\Rightarrow l=\frac{14}{4}\Rightarrow l=3,5 cm

Deci AB=BC=CD=DA=3,5 cm

Stim ca diagonalele intr-un romb sunt bisectoare unghiurilor lui, deci BD bisectoarea unghiului ADC, si astfel gasim ca m\left(\prec ADB\right)=\frac{m\left(\prec ADC\right)}{2}=\frac{120^{0}}{2}=60^{0} si unghiul ABD este de asemenea de 60 de grade , dar si masura unghiului DAB este tot de 60 de grade si astfel triunghiul ADB este echilateral, adica AD=AB=BD=3,5 cm, deci BD=3,5 cm.

2) Perimetrul unui romb este egal cu 18 cm , iar lungimea diagonalei mici este egala cu 4,5 cm . Determinati masurile unghiurilor rombului.
unghiurile unui romb
Stim ca intr-un romb toate laturile sunt congruente, deci daca P_{ABCD}=18 cm\Rightarrow 4l=18 cm\Rightarrow l=\frac{18}{4}\Rightarrow l=4,5 cm si observam ca AB=AD=BD=4,5 cm, adica troiunghiul ADB este echilateral si gasim ca m\left(\prec DAB\right)=60^{0},

Stim ca intr-un romb unghiurile opuse sunt congruente, deci stim si ca m\left(\prec DCB\right)=60^{0}

Acum, ca sa aflam masura unghiului ADC, stim conform proprietatilor rombului stim ca diagonalele sunt bisectoare si cum stim ca
m\left(\prec ADB\right)=60^{0}
Stim ca m\left(\prec ADB\right)=\frac{m\left(\prec ADC\right)}{2}\Rightarrow 60^{0}=\frac{m\left(\prec ADC\right)}{2}\Rightarrow m\left(\prec ADC\right)=2\cdot 60^{0}\Rightarrow m\left(\prec ADC\right)=120^{0}
Stim ca intr-un romb unghiurile opuse sunt congruente deci
\widehat ADC\equiv\widehat ABC, adica m\left(\widehat{ADC}\right)=m\left(\widehat{ABC}\right)=120^{0}.

3) Rombul ABCD are m\left(\widehat{A}\right)=60^{0} . Fie E milocul laturii \left(AB\right) si F mijlocul laturii \left(BC\right) . Notam AC\cap BD = \left\{O\right\}

a)Demonstrati ca DE=AO .

b)Demonstrati ca triunghiul DEF este echilateral .

Demonstratie:

Cum demonstram ca un triunghi este echilateral

a) Stim ca triunghiul ABD este isoscel cu AB=AD, m\left(\widehat{BAD}\right)=60^{0}, deci triunghiul ABD echilateral, deci DE este inaltime in triunghiul ABD, dar mai stim si ca AO\perp BD\Rightarrow m\left(\widehat{AOB}\right)=90^{0}, deci AO este inaltimea in triunghiul echilateral ADB. Conform proprietatilor triunghiului echilateral inaltimile coincid, deci DE=AO.

b) Triunghiul DEF echilateral
cum aratam ca un triunghi este echilateral

Stim ca DE este inaltime in triunghiul ABD, deci m\left(\widehat{AED}\right)=90^{0}.
Stim ca E este mijlocul lui AB, deci AE=EB, dar si ca F mijlocul lui BC, adica BF=FC.
Deci BC=BE, deci triunghiul BEF isoscel, stim ca m\left(widehat{BEF}\right)=m\left(\widehat{BFE}\right)=y si gasim ca
m\left(\widehat{EBF}\right)+m\left(\widehat{BEF}\right)+m\left(\widehat{BFE}\right)=180^{0}\Rightarrow  120^{0}+y+y=180^{0}\Rightarrow 2y=180^{0}-120^{0}\Rightarrow y=\frac{60^{0}}{2}=30^{0}
Stim ca
m\left(\widehat{AEB}\right)=180^{0}
Dar mai stim si ca
m\left(\widehat{AEB}\right)=m\left(\widehat{AED}\right)+m\left(\widehat{DEF}\right)+m\left(\widehat{BEF}\right)\Rightarrow  180^{0}=90^{0}+m\left(\widehat{DEF}\right)+30^{0}\Rightarrow 180^{0}-120^{0}=m\left(\widehat{DEF}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{DEF}\right)=60^{0}.
Acum stim si ca

m\left(\widehat{BFC}\right)=180^{0}
Dar mai stim si ca
m\left(\widehat{BFC}\right)=m\left(\widehat{BFE}\right)+m\left(\widehat{EFD}\right)+m\left(\widehat{DFC}\right)\Rightarrow  180^{0}=30^{0}+m\left(\widehat{EFD}\right)+90^{0}\Rightarrow 180^{0}-120^{0}=m\left(\widehat{EFD}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{EFD}\right)=60^{0}.

Deci avem un triunghi cu doua unghiuri congruente cu masura de 60 de grade, deci si celalat unghi este de 60 de grade si astfel triunghiul EFD este echilateral.

Lasă un răspuns