Prezentam probleme rezolvate cu distante si masuri de unghiuri, probleme care s-au dat la Evaluarea Nationala.
Paralelipipedul dreptunghic ACDA’B’C’D’ are . Fie O mijlocul segmentului [BD], iar M mijlocul segmentului [AB].
a) Demonstrati ca
b) Calculati
c) Calculati
Demonstratie:
Stim ca O este mijlocul lui [BD]
M este mijlocul lui [AB], atunci obtinem ca OM este linie mijlocie in triunghiul ABD, astfel obtinem
Observam ca AB secanta, asadar (ca unghiuri corespondente), asadar obtinem
, asadar obtinem ca
. Dar observam ca
, asadar
. Daca
, observam ca
obtinem ca
.
b) Pentru a afla masura unghiului unei drepte cu un plan calculam proiectia dreptei pe planul respectiv
Ca sa aflam mai usor proiectia dreptei, calculam mai intai proiectia fiecarui punct pe planul respectiv, asadar:
Si
Asadar
asadar obtinem unghiul
Astfel avem ca triunghiul D’BD este dreptunghic in D, stim ca
Iar cu Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ABD, putem afla BD, astfel avem ca
Asadar observam ca , adica triunghiul DD’B este isoscel, de mai sus stiind ca este si dreptunghic, obtinem ca DD’B este dreptunghic isoscel, asadar
.
c)
Pentru a afla tangenta unghiului celor doua plane mai intai aflam intersectia celor doua plane, astfel avem ca
Fie P mijlocul segmentului [A’B’], iar S mijlocul segmentului [DM].
Observam ca in triunghiul A’DM, A’D=AM, iar S fiind mijlocul lui DM, obtinem ca , deoarece triunghiul A’DM fiind isoscel, iar S mijlocul bazei, obtinem ca A’S este si inaltime.
Acum pentru a afla perpendiculara din D’ pe DM, am luat P- mijlocul lui A’B’, si observam ca D’PMD este dreptunghi, astfel, fie N mijlocul lui [D’P], obtinem ca , si astfel avem unghiul
Stim ca , iar triunghiul ANS este dreptunghic in N.
Pentru a afla AN, observam ca triunghiul A’D’P este dreptunghic in A’, stim ca AD’=A’P=3 astfel cu teorema lui Pitagora obtinem , aplicand teorema medianei, obtinem
Astfel avem ca
Lasă un răspuns
Trebuie să fii autentificat pentru a publica un comentariu.