Probleme rezolvate cu divizibilitatea si Teorema impartirii cu rest

Prezentam doua probleme care se rezolva cu ajutorul divizibilitatii, adica folosind cel mai mare divizor comun a doua numere respectiv cu teorema impartirii cu rest .

1. Aflati numerele naturale a si b stiind ca (a,b)=12 si 2a+3b=240

Solutie:
Stim ca cel mai mare divizor comun al celor doua numere a si b este 12, adica factorii comuni ale numerelor sunt numerele prime $2^{2}\cdot 3$
Deci $a=2^{2}\cdot 3\cdot x=12\cdot x$ , unde x este un numar natural si $b=2^{2}\cdot 3\cdot y=12\cdot y$ , unde y este numar natural.

Astfel relatia de mai sus devine:
$2\cdot a+3\cdot b=240\Rightarrow 2\cdot 12x+\cdot 12\cdot y=240\Rightarrow 12\left(2x+3y\right)=240\Rightarrow 2x+3y=240:12\Rightarrow 2x+3y=20$
Pentru x=1, obtinem $2\cdot 1+3y=20\Rightarrow 2+3y=20\Rightarrow 3y=20-2\Rightarrow 3y=18|:3\Rightarrow y=6$
Deci $a=12\cdot 1=12$
Si $b=12\cdot 6=72$

Pentru x=4 obtinem $2\cdot 4+3y=20\Rightarrow 8+3y=20\Rightarrow 3y=20-8\Rightarrow 3y=12\Rightarrow y=12:3\Rightarrow y=4$ si obtinem $a=12\cdot 4=48$ si $12\cdot 4=48$ dar aici gasim cel mai mare divizor comun al numerelor ca fiind 48 si astfel nu se mai indeplineste conditia de mai sus, adica $(a,b)=48$

Pentru $x=7\Rightarrow 2\cdot 7+3y=20\Rightarrow 14+3y=20\Rightarrow 3y=20-14\Rightarrow 3y=6\Rightarrow y=2$
Si obtinem $a=12\cdot 7=84$ si $b=12\cdot 2=24$ deci conditia ca sa rezolvam aceste exercitiu sa tinem cont la la cel mai mare divizor comun ca se iau toti factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica.

Si astfel numerele gasite sunt a=12 si b=72, dar si a=84 si b=24

2. Aflati numerele a si b, stiind ca suma lor este 86, iar daca impartim numarul a la b obtinem catul 3 si restul 2.

Solutie:
Ca sa rezolvam aceste exercitiu trebuie sa folosim teorema impartirii cu rest.
Suma celor doua numere este:
a+b=86
a:b=3 rest 2
Iar cu teorema impartirii cu rest obtinem $a=b\cdot 3+2\Rightarrow a=3b+2$
Daca inlocuim mai sus obtinem $a+b=86\Rightarrow 3b+2+b=86\Rightarrow2 3b+b=86-2\Rightarrow 4b=84\Rightarrow b=84:4\Rightarrow b=21$
Iar $a=3\cdot b+2\Rightarrow a=3\cdot 21+2=63+2=65$