Prezentam doua probleme care se rezolva cu ajutorul divizibilitatii, adica folosind cel mai mare divizor comun a doua numere respectiv cu teorema impartirii cu rest .
1. Aflati numerele naturale a si b stiind ca (a,b)=12 si 2a+3b=240
Solutie:
Stim ca cel mai mare divizor comun al celor doua numere a si b este 12, adica factorii comuni ale numerelor sunt numerele prime
Deci , unde x este un numar natural si
, unde y este numar natural.
Astfel relatia de mai sus devine:
Pentru x=1, obtinem
Deci
Si
Pentru x=4 obtinem si obtinem
si
dar aici gasim cel mai mare divizor comun al numerelor ca fiind 48 si astfel nu se mai indeplineste conditia de mai sus, adica
Pentru
Si obtinem si
deci conditia ca sa rezolvam aceste exercitiu sa tinem cont la la cel mai mare divizor comun ca se iau toti factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica.
Si astfel numerele gasite sunt a=12 si b=72, dar si a=84 si b=24
2. Aflati numerele a si b, stiind ca suma lor este 86, iar daca impartim numarul a la b obtinem catul 3 si restul 2.
Solutie:
Ca sa rezolvam aceste exercitiu trebuie sa folosim teorema impartirii cu rest.
Suma celor doua numere este:
a+b=86
a:b=3 rest 2
Iar cu teorema impartirii cu rest obtinem
Daca inlocuim mai sus obtinem
Iar