Probleme rezolvate cu teorema fundamentala a asemanarii

Astazi a venit vremea sa prezentam probleme care se rezolva cu teorema fundamentala a asemanarii dar si cu linia mijlocie intr-un trapez.

Sa incepem cu un exemplu de problema.

In triunghiul ABC se iau laturile AB=16 cm , BC =18 cm si AC=20 cm . Se duce dreapta DE paralela cu BC astfel incat triunghiul ADE si trapezul BDEC sa aiba acelasi perimetru . Aflati lungimea segmentului DE.

Ipoteza:

$\Delta ABC$

AB=16 cm, BC=18 cm, AC=20 cm

DE||BC

$P_{\Delta ADE}=P_{BDEC}$

Concluzie:

DE=?

Demonstratie:

Stim ca DE||BC, deci putem aplica Teorema fundamentala a asemanarii $\Delta ADE\sim\Delta ABC$

Adica $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

$\Rightarrow\frac{AD}{16}=\frac{AE}{20}=\frac{DE}{18}=k$

Adica obtinem $\frac{AD}{16}=k\Rightarrow AD=16k$

$\frac{AE}{20}=k\Rightarrow AE=20k$

$\frac{DE}{18}=k\Rightarrow DE=18k$

Dar mai stim si ca: $P_{\Delta ADE}=P_{BDEC}\Rightarrow AD+DE+AE=BD+DE+EC+BC\Rightarrow AD+AE=BD+DE+EC+BC-DE\Rightarrow AD+AE=BD+EC+BC\Rightarrow AD+AE=BD+EC+18$

Si cu notiunile de mai sus obtinem: $16k+20k=BD+EC+18$ (1)

Dar stim ca $AB=AD+DB\Rightarrow 16=16k+BD\Rightarrow BD=16-16k$

Dar si $AC=AE+EC\Rightarrow 20=20k+EC\Rightarrow 20-20k=EC$

Si daca inlocuim in (1), obtinem: $16k+20k=16-16k+20-20k+18\Rightarrow 36k=54-36k\Rightarrow 36k+36k=54\Rightarrow 72k=54\Rightarrow k=\frac{54}{72}^{(9}=\frac{6}{8}^{(2}=\frac{3}{4}$

Si astfel am obtinut: $k=\frac{3}{4}$ si astfel obtinem: $\frac{AD}{16}=k\Rightarrow AD=16k\Rightarrow AD=16\cdot\frac{3}{4}^{(4}=4\cdot\frac{3}{1}=12$

$\frac{AE}{20}=k\Rightarrow AE=20k\Rightarrow AE=20\cdot\frac{3}{4}^{(4}=5\cot\frac{3}{1}=15$

$\frac{DE}{18}=k\Rightarrow DE=18k\Rightarrow DE=18\cdot\frac{3}{4}^{(2}=9\cdot\frac{3}{2}=\frac{9\cdot 3}{2}=\frac{27}{2}=13,5$

Deci am obtinut $DE=13, 5$

Sa mai vedem o problema.

2. Trapezul isoscel ABCD, AB||CD, are $[AD]\equiv[DC]\equiv[BC]$ si $m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}$ . Daca lungimea liniei mijlocii a trapezului este egala cu 21 cm, atunci calculati perimetrul trapezului ABCD.

Demonstratie:

Stim ca linia mijlocie a trapezului este de 21 cm, deci cu teorema referitoare la linia mijlocie intr-un trapez obtinem:

$l.m=\frac{B+b}{2}\Rightarrow 21=\frac{AB+DC}{2}\Rightarrow AB+DC=21\cdot 2\Rightarrow AB+DC=42 cm$

Observam ca AD=BC, deci trapezul ABCD este isoscel, deci obtinem si ca $m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}$

Pentru a afla perimetrul trapezului construim perpendicularele di D pe AB si din C pe AB, astfel avem: $DE\perp AB$

Si $CF\perp AB$ si obtinem:

cum aflam perimetrul unui trapez

Astfel in triunghiul ADE avem $m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}, m\left(\widehat{E}\right)=90^{0}$ si astfel obtinem $m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}-m\left(\widehat{A}\right)- m\left(\widehat{E}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}-60^{0}-90^{0}=30^{0}$

Deci in triunghiul ADE aplicam Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ , astfel obtinem $AE=\frac{AD}{2}\Rightarrow 2\cdot AE=AD\Rightarrow DC=2AE$

La fel si in triunghiul BCF avem $m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}, m\left(\widehat{F}\right)=90^{0}$ si astfel obtinem

$m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-m\left(\widehat{B}\right)- m\left(\widehat{F}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-60^{0}-90^{0}=30^{0}$