Probleme rezolvate cu vectori

1. Fie triunghiul ABC, cu M mijlocul segmentului [BC] si G centru de greutate al triunghiului ABC.
a) Aratati ca $\vec{AM}=\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)$
b) Aratati ca $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$
c) aratati ca pentru orice punct O din plan are loc egalitatea $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}$
Demonstratie:

a) In triunghiul ABM, aplicand regul triunghiului (Relatia lui Chasles) obtinem $\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}$ , dar si in triunghiul AMC obtinem cu regula triunghiului $\vec{AM}=\vec{AC}+\vec{CM}$
Adunand cele doua relatii obtinem
$\vec{AM}+\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}+\vec{AC}+\vec{CM}$
Astfel obtinem $2\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{AC}$
Observam ca vectorii BM si CM au sensuri opuse adica $\vec{BM}=\frac{\vec{BC}}{2}$ , dar $\vec{CM}=\frac{\vec{CB}}{2}=\frac{\vec{-BC}}{2}$
Si astfel obtinem $\vec{AM}=\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)$
b) Stim ca M este mijlocul lui BC, consideram N mijlocul lui AC si P mijlocul AB. G fiind centru de greutate al triunghiului stim ca punctul G este situat pe fiecare mediana la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza, astfel obtinem ca

$\vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AM}\Rightarrow\vec{GA}=-\frac{2}{3}\vec{AM}$ , dar si
$\vec{BG}=\frac{2}{3}\vec{BN}\Rightarrow\vec{GB}=-\frac{2}{3}\vec{BN}$ ,
$\vec{CG}=\frac{2}{3}\vec{CP}\Rightarrow\vec{GC}=-\frac{2}{3}\vec{CP}$
astfel obtinem ca
$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=$
$-\frac{2}{3}\vec{AM}+\left(-\frac{2}{3}\vec{BN}\right)+(-\frac{2}{3}\vec{CP})=$
$\frac{-2}{3}\left(\vec{AM}+\vec{BN}+\vec{CP}\right)$
Stim ca $\vec{AM}=\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)$
Dar si $\vec{BN}=\frac{1}{2}\left(\vec{BA}+\vec{BC}\right)$
$\vec{CP}=\frac{1}{2}\left(\vec{CA}+\vec{CB}\right)$
Inlocuind in relatia de mai sus obtinem
$\frac{-2}{3}\left(\vec{AM}+\vec{BN}+\vec{CP}\right)=-\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)+\frac{1}{2}\left(\vec{BA}+\vec{BC}\right)+\frac{1}{2}\left(\vec{CA}+\vec{CB}\right)\right)$
Dand factor comun pe $\frac{1}{2}$ obtinem
$\frac{-2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BA}+\vec{BC}+\vec{CA}+\vec{CB}\right)=\frac{-2}{6}\cdot 0=0$
si astfel am demonstrat.
c) Fie O un punct in plan. Stim ca $\vec{AG}=2\cdot\vec{GM}$ , iar pentru orice punct O din plan avem ca $OG=\frac{1}{3}\cdot\vec{OA}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OB}$ (am folosit vectorul de pozitie al unui punct care imparte un segment intr-un raport dat, stim ca daca AB este un segment si M un punct in plan care imparte segmentul AB in raportul k, obtinem ca $\vec{OM}=\frac{1}{k+1}\cdot\vec{OA}+\frac{k}{k+1}\cdot\vec{OB}$ )

Analog:

$OG=\frac{1}{3}\cdot\vec{OB}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OC}$

Dar si

$OG=\frac{1}{3}\cdot\vec{OC}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OA}$

Adunand toate cele trei relatii obtinem:

$\vec{OG}+\vec{OG}+\vec{OG}=\frac{1}{3}\cdot\vec{OA}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OB}+\frac{1}{3}\cdot\vec{OB}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OC}+\frac{1}{3}\cdot\vec{OC}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OA}$

Grupand fractiile care au acelasi vector obtinem:

$3\vec{OG}=\left(\frac{1}{3}\cdot\vec{OA}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OA}\right)+\left(\frac{1}{3}\cdot\vec{OB}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OB}\right)+\left(\frac{1}{3}\cdot\vec{OA}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OA}\right)=\frac{3}{3}\vec{OA}+\frac{3}{3}\vec{OB}+\frac{3}{3}\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$

Asadar obtinem:

$3\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$

$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}$

Probleme rezolvate cu vectori

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii