Probleme rezolvate cu vectori

1. Fie triunghiul ABC, cu M mijlocul segmentului [BC] si G centru de greutate al triunghiului ABC.
a) Aratati ca \vec{AM}=\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)
b) Aratati ca \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}
c) aratati ca pentru orice punct O din plan are loc egalitatea \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}
Demonstratie:

probleme rezolvate cu vectori

a) In triunghiul ABM, aplicand regul triunghiului (Relatia lui Chasles) obtinem \vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}, dar si in triunghiul AMC obtinem cu regula triunghiului \vec{AM}=\vec{AC}+\vec{CM}
Adunand cele doua relatii obtinem
\vec{AM}+\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}+\vec{AC}+\vec{CM}
Astfel obtinem 2\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{AC}
Observam ca vectorii BM si CM au sensuri opuse adica \vec{BM}=\frac{\vec{BC}}{2}, dar \vec{CM}=\frac{\vec{CB}}{2}=\frac{\vec{-BC}}{2}
Si astfel obtinem \vec{AM}=\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)
b) Stim ca M este mijlocul lui BC, consideram N mijlocul lui AC si P mijlocul AB. G fiind centru de greutate al triunghiului stim ca punctul G este situat pe fiecare mediana la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza, astfel obtinem ca
operatii cu vectori

\vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AM}\Rightarrow\vec{GA}=-\frac{2}{3}\vec{AM}, dar si
\vec{BG}=\frac{2}{3}\vec{BN}\Rightarrow\vec{GB}=-\frac{2}{3}\vec{BN},
\vec{CG}=\frac{2}{3}\vec{CP}\Rightarrow\vec{GC}=-\frac{2}{3}\vec{CP}
astfel obtinem ca
\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=
-\frac{2}{3}\vec{AM}+\left(-\frac{2}{3}\vec{BN}\right)+(-\frac{2}{3}\vec{CP})=
\frac{-2}{3}\left(\vec{AM}+\vec{BN}+\vec{CP}\right)
Stim ca \vec{AM}=\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)
Dar si \vec{BN}=\frac{1}{2}\left(\vec{BA}+\vec{BC}\right)
\vec{CP}=\frac{1}{2}\left(\vec{CA}+\vec{CB}\right)
Inlocuind in relatia de mai sus obtinem
\frac{-2}{3}\left(\vec{AM}+\vec{BN}+\vec{CP}\right)=-\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)+\frac{1}{2}\left(\vec{BA}+\vec{BC}\right)+\frac{1}{2}\left(\vec{CA}+\vec{CB}\right)\right)
Dand factor comun pe \frac{1}{2} obtinem
\frac{-2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BA}+\vec{BC}+\vec{CA}+\vec{CB}\right)=\frac{-2}{6}\cdot 0=0
si astfel am demonstrat.
c) Fie O un punct in plan. Stim ca \vec{AG}=2\cdot\vec{GM}, iar pentru orice punct O din plan avem ca OG=\frac{1}{3}\cdot\vec{OA}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OB}(am folosit vectorul de pozitie al unui punct care imparte un segment intr-un raport dat, stim ca daca AB este un segment si M un punct in plan care imparte segmentul AB in raportul k, obtinem ca \vec{OM}=\frac{1}{k+1}\cdot\vec{OA}+\frac{k}{k+1}\cdot\vec{OB})

Analog:

OG=\frac{1}{3}\cdot\vec{OB}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OC}

Dar si

OG=\frac{1}{3}\cdot\vec{OC}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OA}

Adunand toate cele trei relatii obtinem:

\vec{OG}+\vec{OG}+\vec{OG}=\frac{1}{3}\cdot\vec{OA}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OB}+\frac{1}{3}\cdot\vec{OB}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OC}+\frac{1}{3}\cdot\vec{OC}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OA}

Grupand fractiile care au acelasi vector  obtinem:

3\vec{OG}=\left(\frac{1}{3}\cdot\vec{OA}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OA}\right)+\left(\frac{1}{3}\cdot\vec{OB}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OB}\right)+\left(\frac{1}{3}\cdot\vec{OA}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OA}\right)=\frac{3}{3}\vec{OA}+\frac{3}{3}\vec{OB}+\frac{3}{3}\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

Asadar obtinem:

3\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

sau

\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}

 

Lasă un răspuns