Proiectia unui punct pe o dreapta Proiectia unui punct pe un plan

Dupa ce am vorbit despre Puncte drepte si plane, iar in cadru acestui capitol am vorbit despre distanta de la un punct la o dreapta, distanta de la un punct la un plan, distanta intre doua plane, unghiul unei drepte cu un plan, piramida, prisma astazi o sa vorbim despre proiectia unui punct pe o dreapta si proiectia unui punct pe un plan.

Incepem cu proiectia unui punct pe o dreapta.

Def: Proiectia unui punct pe un dreapta este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreapta.

Matematic scriem $A'=pr_{d}A$

Def: Proiectia unui segment pe o dreapta d este multimea formata din proiectiile tuturor punctelor segmentului pe dreapta d.

Obs: Proiectia unui segment pe o dreapta este un segment sau un punct

Def: Proiectia unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe un plan.

Def: Prin proiectia unei figuri geometrice pe un plan intelegem multimea proiectiilor punctelor acelei figuri pe plan.

Teorema: Proiectia unei drepte d pe un plan $\alpha$ este o dreapta (daca dreapta d nu este perpendiculara pe planul $\alpha$ ) sau un punct (daca dreapta d este perpendiculara pe planul $latex\alpha$).

Teorema: Proiectia unui segment pe un plan este un segment sau un punct.

Daca segmentul care se proiecteaza este perpendicular pe planul $latex\alpha$ atunci proiectia sa este un punct in caz contrar este un segment.

Exemplu: Fie VABCD o piramida patrulatera regulata, in care $latex\ left{O\right}=AC\cap BD$, iar punctul M este mijlocul muchiei [CD].

Determinati:
a) $pr_{\left(ABC\right)}V$
b) $pr_{\left(ABC\right)}\left[VB\right]$
c) $pr_{\left(VBD\right)}C$

a) $pr_{\left(ABC\right)}V=O$

Dupa cum bine stim, proiectia unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei din acel punct pe plan, iar proiectia poate fi un punct sau o dreapta in cazul nostru un punct deoarece dreapta VO este perpendiculara pe pe plan (ABC).

b) $pr_{\left(ABC\right)}\left[VB\right]=OB$

Stim ca proiectia unei drepte pe un plan este o dreapta daca dreapta nu este perpendiculara pe plan (in acest caz ne incadram noi) si astfel proiectia dreptei VB pe planul ABC este dreapta OB.

c)Proiectia unui punct C pe un plan (VBD) este piciorul perpendicularei din acel punct pe plan, deci proiectia lui C pe planul (VBD) este punctul O.