Proiectii ortogonale pe un plan

Pentru a intelege notiunea de proiectie ortogonala pe un plan trebuie sa ne reamintim notiunea de proiectia unui punct pe o dreata.
Astfel stim ca proiectie unui punct pe o dreata este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreapta.

$pr_{d}A=A'$
Proiectia unui segment pe o dreapta este multimea formata din proiectiile tuturor punctelor pe acea drepta.
Observatie:
Daca drepta suport a segmentului este perpendiculara pe dreapta atunci proiectia segmentului pe drepta este un punct.

$pr_{d}AB=A'$ sau $pr_{d}AB=B'$ (daca segmentul AB este perpendicular pe drepta d ) si $pr_{d}AB=A'B'$ (daca segmentul [AB] nu este perpendicular pe drepta d)
Teorema. Lungimea proiectiei unui segment este egala cu produsul dintre lungimea segmentului si cosinusul unghiului ascutit pe care dreapta d il face cu segmentul respectiv.
$A'B=AB\cdot cos\left(Widehat{AB, d}\right)$
Si acum proiectia uni punct pe un plan dupa cum bine iti poti da seama de la definitia proiectiei unui punct pe o dreapta este:
Definitie: Proiectia ortogonala a unui punct $P\notin \alpha$ pe un plan $\alpha$ este piciorul perpendicularei din acel punct pe plan, adica
$pr_{\alpha}P=P^{'}$
Daca avem cazul in care punctul chiar se afla in interiorul planului atunci proiectia punctului P pe planul $\alpha$ este chiar punctul P.
proiectia unui punct pe un plan
Si notez $pr_{\alpha}P=P'$ , daca $p\notin \alpha$ si $pr_{\alpha}P=P$ , daca $p\in \alpha$
Proiectia unei drepte pe un plan este tot o notiune destul de importanta, deoarece in lectiile urmatoare, o sa vedem ca ea are un rol destul de important pentru a putea calcula unghiul unei drepte cu un plan, asadar
Proiectia unei drepte pe un plan este o dreapta (daca dreapta d nu este perpendiculara pe pan ) si un punct daca dreapta d este perpendiculara pe plan.
Acelasi lucru putem sa-l spune si despre proiectia unui segment pe un plan, adica acesta poate sa fie un punct sau un segment.
Daca segmentul care se proiecteaza este perpendicular pe plan atunci proiectia sa este un punct, in caz contrar este un segment.

Aplicatii
Fie piramida patrulatera regulata VABCD cu $AC\cap BD=\left\{O\right\}$ , M mijlocul lui [BC]. Calculati:
a) $pr_{(ABC)}V$
b) $pr_{(VAC)}B$
c) $pr_{(ABC)}VA$
d) $pr_{(ABC)}VM$
e) $pr_{(VAC)}AB$
f) $pr_{(VOM)}VB$
Demonstratie:

a) Observam ca $VO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow VO\perp\left(ABC\right)$ , asadar $pr_{(ABC)}VO=O$
b) $BO\perp VO$ si $BO\perp AC$ , stim ca baza piramidei patrulatere regulate este patrat, iar diagonalele in patrat sunt perpendiculare $AC\subset\left(VAC\right)$ ,de unde obtinem ca $BO\perp (VAC)$ si astfel obtinem ca $pr_{(VAC)}B=O$
c) In cazul de fata avem proiectia unei drepte pe un plan, ca sa nu gresim luam proiectia fiecarui punct pe plan, astfel
$pr_{(ABC)}V=O$ , din a)
Si $pr_{(ABC)}A=A$ , deoarece punctul A apartine planului (ABC), asfel obtinem $pr_{(ABC)}VA=OA$
d) Proceda la fel ca si la c)
$pr_{(ABC)}V=O$ si $pr_{(ABC)}M=M$ , asadar obtinem ca $pr_{(ABC)}VM=OM$
e) $pr_{(VAC)}A=A$ , deoarece punctul A apartine planului (VAC), $pr_{(VAC)}B=O$ si astfel obtinem $pr_{(VAC)}AB=AO$ .
f) $pr_{(VOM)}VB$ , la fel ca si la c), d) si e) $pr_{(VOM)}V=V$ , deoarece V apartine planului (VOM) si $pr_{(VOM)}B=M$ , observam ca $BM\perp VM$ si $BM\perp OM$ si astfel obtinem $BM\perp(VOM)$ si astfel obtinem $pr_{(VOM)}VB=VM$ .

Proiectii ortogonale pe un plan

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii