Astazi o sa discutam despre proportii, proprietatea fundamentala a proportiilor, dar prezentam si  o problema rezolvata care se rezolva cu ajutorul rapoartelor.

Dar mai intai sa ne reamintim definitia raportului:

Definitie: Fiind date doua numere rationale pozitive  a si b, cu b\neq 0, prin raportul lor intelegem numarul rational a:b, notat \frac{a}{b}

Acum definim notiunea de proportie:

Definitie: Egalitatea a doua rapoarte se numeste proportie.

Daca rapoartele \frac{a}{b} si \frac{c}{d}  au aceiasi valoare, ele formeaza proportia \frac{a}{b}=\frac{c}{d}, iar numerele a, b, c, d se numesc termenii proportiei.

Termenii a si d se numesc extremi, iar b si c se numesc mezi.

Exemplu :

\frac{15}{5}=\frac{6}{2} (ambele rapoarte au valoarea 2).

 Proprietatea fundamentala a asemanarii

Teorema. Intr-o proportie produsul  extremilor este egal cu produsul mezilor.

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow a\cdot d=b\cdot c, unde b\neq 0, d\neq 0

Reciproca teoremei .

Daca numerele a,b, c, d verifica relatia a\cdot d=b\cdot c, atunci ele pot fi termenii unei proportii.

Exemplu :

Determinati valoarea lui x din proportiile :

a) \frac{x}{8}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{8\cdot 3}{4}=\frac{24}{4}=6

Deci am gasit ca x=6.

In cazul de mai sus am folosit proprietatea fundamentala a proportiilor.

Observam ca daca inlocuim pe x, obtinem o prportiea

\frac{6}{8}^{(2}=\frac{3}{4}

b) \frac{2x+1}{5}=\frac{7}{8}\Rightarrow \left(2x+1\right)\cdot 8=5\cdot 7\Rightarrow 16x+8=35\Rightarrow 16x=35-8\Rightarrow 16x=27\Rightarrow x=\frac{27}{16}

Acum efectuam proba:

\frac{2\cdot\frac{27}{16}+1}{5}=\frac{\frac{27}{8}+1}{5}=\frac{\frac{27+8\cdot 1}{8}}{5}=\frac{\frac{35}{8}}{5}=\frac{35}{8}\cdot \frac{1}{5}=\frac{7}{8}

Cea ce trebuia sa aratam.

Problema rezolvata

Suma a doua numere este 64 iar raportul lor este \frac{7}{9}.Sa se afle numerele.
Solutie:
Notam cu a si b cele doua numere
Acum formam ecuatiile
a+b=64 (suma a doua numere este 64)
\frac{a}{b}=\frac{7}{9}\Rightarrow a=\frac{7}{9}\cdot b (raportul celor doua numere este \frac{7}{9})
Acum daca inlocuim in prima ecuatie obtinem:
\frac{7}{9}\cdot b+b=64|\cdot 9\Rightarrow 7b+9b=64\cdot 9\Rightarrow 16b=576\Rightarrow b=576:16\Rightarrow b=36
Acum ca stim b putem afla a, astfel avem:
a=\frac{7}{9}\cdot b=\frac{7}{9}\cdot 36^{(9}=\frac{7}{1}\cdot 4=28
Astfel am gasit ca a=28.
Acum efectuam proba:
a+b=64  \\ 28+36=64
Iar raportul celor doua numere este:
\frac{a}{b}=\frac{28}{36}^{(4}=\frac{7}{9}
Deci se verifica.

Lasă un răspuns