Proportii : Proprietatea fundamentala a proportiilor

Astazi o sa discutam despre proportii, proprietatea fundamentala a proportiilor, dar prezentam si o problema rezolvata care se rezolva cu ajutorul rapoartelor.

Dar mai intai sa ne reamintim definitia raportului:

Definitie: Fiind date doua numere rationale pozitive a si b, cu $b\neq 0$ , prin raportul lor intelegem numarul rational a:b, notat $\frac{a}{b}$

Acum definim notiunea de proportie:

Definitie: Egalitatea a doua rapoarte se numeste proportie.

Daca rapoartele $\frac{a}{b}$ si $\frac{c}{d}$ au aceiasi valoare, ele formeaza proportia $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ , iar numerele a, b, c, d se numesc termenii proportiei.

Termenii a si d se numesc extremi, iar b si c se numesc mezi.

Exemplu :

$\frac{15}{5}=\frac{6}{2}$ (ambele rapoarte au valoarea 2).

Proprietatea fundamentala a asemanarii

Teorema. Intr-o proportie produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow a\cdot d=b\cdot c$ , unde $b\neq 0, d\neq 0$

Reciproca teoremei .

Daca numerele a,b, c, d verifica relatia $a\cdot d=b\cdot c$ , atunci ele pot fi termenii unei proportii.

Exemplu :

Determinati valoarea lui x din proportiile :

a) $\frac{x}{8}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{8\cdot 3}{4}=\frac{24}{4}=6$

Deci am gasit ca x=6.

In cazul de mai sus am folosit proprietatea fundamentala a proportiilor.

Observam ca daca inlocuim pe x, obtinem o prportiea

$\frac{6}{8}^{(2}=\frac{3}{4}$

b) $\frac{2x+1}{5}=\frac{7}{8}\Rightarrow \left(2x+1\right)\cdot 8=5\cdot 7\Rightarrow 16x+8=35\Rightarrow 16x=35-8\Rightarrow 16x=27\Rightarrow x=\frac{27}{16}$

Acum efectuam proba:

$\frac{2\cdot\frac{27}{16}+1}{5}=\frac{\frac{27}{8}+1}{5}=\frac{\frac{27+8\cdot 1}{8}}{5}=\frac{\frac{35}{8}}{5}=\frac{35}{8}\cdot \frac{1}{5}=\frac{7}{8}$

Cea ce trebuia sa aratam.

Problema rezolvata

Suma a doua numere este 64 iar raportul lor este $\frac{7}{9}$ .Sa se afle numerele.
Solutie:
Notam cu a si b cele doua numere
Acum formam ecuatiile
$a+b=64$ (suma a doua numere este 64)
$\frac{a}{b}=\frac{7}{9}\Rightarrow a=\frac{7}{9}\cdot b$ (raportul celor doua numere este $\frac{7}{9}$ )
Acum daca inlocuim in prima ecuatie obtinem:
$\frac{7}{9}\cdot b+b=64|\cdot 9\Rightarrow 7b+9b=64\cdot 9\Rightarrow 16b=576\Rightarrow b=576:16\Rightarrow b=36$
Acum ca stim b putem afla a, astfel avem:
$a=\frac{7}{9}\cdot b=\frac{7}{9}\cdot 36^{(9}=\frac{7}{1}\cdot 4=28$
Astfel am gasit ca a=28.
Acum efectuam proba:
$a+b=64 \\ 28+36=64$
Iar raportul celor doua numere este:
$\frac{a}{b}=\frac{28}{36}^{(4}=\frac{7}{9}$
Deci se verifica.