La proprietatile generale ale functiilor o sa discutam despre:

 

• functii marginite
• functii pare si functii impare
• functii periodice
• functii monotone

Asadar incepem cu functiile marginite:

Definitie: Fie $latex f:A\rightarrow R$, o functie numerice. Spune ca functia f este marginita, daca exista numerele reale a si b, astfel incat $latex a\leq f\left(x\right)\leq b$

Sau functia $latex f:A\rightarrow R$ este marginita, daca imaginea functiei (multimea valorilor functiei) este inclusa intr-un interval de numere reale.

Adica f marginita, daca $latex \exists a, b\in R, a\leq b$, astfel incat $latex Im f\subset [a, b]$.

De asemenea putem afirma ca o functie este marginita, daca exista $latex M>0$ astfel incat $latex |f(x)|\leq M$.

 

Dar si cu  ajutorul graficului functii, spune ca o functie este marginita daca graficul sau este cuprins intre doua drepte paralele cu axa OX.

Aplicatii:

Studiati marginirea functiilor:

1. a) $latex f:Z\rightarrow Z, f(n)=(-1)^{n}$

Asadar calculam

$latex f(-1)=(-1)^{-1}=\frac{1}{(-1)^{1}}=\frac{1}{-1}=-1$

$latex f(0)=(-1)^{0}=1$

$latex f(1)=(-1)^{1}=-1$

Astfel obtinem ca $latex Im f=\left\{-1, 1\right\}\subset\left[-1, 1\right]$, adica este inclusa intr-un interval de numere reale si astfel obtinem ca $latex f(n)=(-1)^{n}$ este o functie marginita.

1. b) $latex f:N^{*}\rightarrow N, f(n)=u(2^{n})$, unde $latex u(2^{n})$ este ultima cifra a numarului $latex 2^{n}$

Asadar calculam

$latex f(1)=u(2^{1})=2$

$latex f(2)=u(2^{2})=u(4)=4$

$latex f(3)=u(2^{3})=u(8)=8$

$latex f(4)=u(2^{4})=u(16)=6$

$latex f(5)=u(2^{5})=u(32)=2$

$latex f(6)=u(2^{6})=u(64)=4$

$latex f(7)=u(2^{7})=u(128)=8$

Asadar obtinem ca $latex Im f=\left\{2, 4, 6, 8\right\}\subset\left[2, 8\right]$, adica functia este marginita.

Functii pare si functii impare.

O multime $latex A\subset R$ se numeste simetrica fata de originea axei reale, daca oricare ar fi $latex x\in A$, atunci si $latex -x\in A$.

Exemplu $latex (-2, 2)$ sunt simetrice fata de originea axei reale.

Fie $latex A\subset R$ o multime simetrica fata de origine si fie $latex f:A\rightarrow R$ o functie numerica.

Functia f se numeste functie impara, daca $latex f(-x)=-f(x)$

Graficul functie impare este simetric fata de origine reperului, adica originea O este centru de simetrie pentru graficul functiei.

Functia f se numeste functie para, daca $latex f(-x)=f(x)$

Graficul functiei pare este simetric fata de axa OY, adica axa OY este axa de simetrie pentru graficul sau.

 

Simetria graficului fata de drepte de forma x=m

Fie $latex f:A\rightarrow R$ o functei numeric si dreapta de ecuatie $latex x=m$

Dreapta $latex x=m$ este axa de simetrie a graficului functiei f, daca si numai daca $latex f(x)=f(2m-x), \forall x\in A$

Simetria graficului fata de puncte oarecare in plan.

Graficul functiei f este simetric fata de punctul $latex A\left(a, b\right)$, daca si numai daca $latex f(x)+f(2a-x)=2b, \forall x\in A$.

Aplicatii:

1. Care dintre urmatoarele functii sunt pare si care sunt impare:
2. a) $latex f(x)=x^{3}-2x$

Pentru stabili daca functia este para sau impara calculam:

$latex f(-x)=\left(-x\right)^{3}-2\cdot\left(-x\right)=-x^{3}+2x=-\left(x^{3}-2x\right)=-f(x)$, adica functia este impara.

Stim ca orice numar negativ ridicat la o putere impara ne da tot un numar negativ, adica $latex \left(-x\right)^{3}=-x^{3}$

Observati ca sus pentru a obtine functia $latex f(x)$ am dat factor comun fortat un – si astfel am obtinut ca functia estye impara.

1. b) $latex f(x)=\frac{x^{2}}{x^{6}+1}$

Astfel calculam:

$latex f(-x)=\frac{\left(-x\right)^{2}}{\left(-x\right)^{6}+1}=\frac{x^{2}}{x^{6}+1}=f(x)$, adica functei para.

Observati ca in cazul de sus am avut numar negativ ridicat la putere para si am obtinut un numar pozitiv.

Functii periodice

Definitie: Fie $latex f:A\rightarrow R$ o fuctie numerica. Functai f se numeste functie periodica, daca exista $latex T\in R^{*}$, astfel incat $latex f(x+T)=f(x),\forall x\in A$.

Numarul T se numeste perioada functiei f.

Daca printre perioadele strict pozitive ale lui f, exista un cel mai mic $latex T_{0}$m atunci $latex T_{0}$  se numeste perioada principala a functiei f.

Teorema:

Fie $latex f:R\rightarrow R$, o functie care are perioada principala $latex T_{0}, k\in Z$. Atunci:

– numarul $latex kT_{0}$este perioada a functiei f

– oricare ar fi perioada $latex T$a functiei f, exista $latex n\in Z$, astfel incat $latex T=n\cdot T_{0}$

Aplicatii:

Aflati perioada principala pentru urmatoarele functii:

1. a) $latex f:Z\rightarrow Z, f(n)=(-1)^{n}$

Asadar calculam:

$latex f(-2)=(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^{2}}=\frac{1}{4}$

$latex f(-1)=(-1)^{-1}=\frac{1}{(-1)^{1}}=\frac{1}{-1}=-1$

$latex f(0)=(-1)^{0}=1$

$latex f(1)=(-1)^{1}=-1$

$latex f(2)=(-1)^{2}=1$

Observam ca valorile functiei se repeta din 2 in doi.

Intr-adevar:

$latex f(2k)=(-1)^{2k}=1$

$latex f(2k+1)=(-1)^{2k+1}=-1$

Asadar obtinem ca $latex f(n+2)=f(n)$

Adica

$latex f(n+2)=\left(-1\right)^{n+2}=\left(-1\right)^{n}\cdot\left(-1\right)^{2}=\left(-1\right)^{n}\cdot 1=\left(-1\right)^{n}=f(n)$

Astfel obtinem ca functia f este periodica cu perioada principala $latex T_{0}=2$

 

1. b) Se considera functia $latex f:N\rightarrow N, f(n)=u(7^{n})$.

a)Este periodica functia?

b)Care este multimea perioadelor functiei f?

Solutie:

1. a) Asadar calculam:

$latex f(0)=u(7^{0})=u(1)=1$

$latex f(1)=u(7^{1})=u(7)=7$

$latex f(2)=u(7^{2})=u(49)=9$

$latex f(3)=u(7^{3})=u(343)=3$

$latex f(4)=u(7^{4})=u(2401)=1$

$latex f(5)=u(7^{5})=u(16807)=7$

Observam ca acum cifrele incep sa se repete, astfel obtinem ca

$latex f(n+4)=f(n)$, adica $latex T_{0}=4$

Astfel calculam

$latex f(n+4)=u(7^{n+4})=u(7^{n}\cdot 7^{4})=u(7^{n})\cdot u(7^{4})=u(7^{n})\cdot 1=u(7^{n})=f(n)$

Astfel obtinem ca functia este periodica cu perioada principala $latex T_{0}=4$

1. b) Multimea perioadelor functiei este $latex T\in\left\{4\cdot k|k\in N^{*}\right\}$.

 

Functii monotone:

Fie functia numerica $latex f:A\rightarrow R$.

Spunem ca functia f este crescatoare pe A, daca pentru orice $latex x_{1}, x_{2}\in A$, cu $latex x_{1}<x_{2}$, rezulta si ca $latex f(x_{1})\leq f(x_{2})$

 

Spunem ca functia f este strict crescatoare pe A, daca pentru orice $latex x_{1}, x_{2}\in A$, cu $latex x_{1}<x_{2}$, rezulta si ca $latex f(x_{1})< f(x_{2})$

Spunem ca functia f este descrescatoare pe A, daca pentru orice $latex x_{1}, x_{2}\in A$, cu $latex x_{1}<x_{2}$, rezulta si ca $latex f(x_{1})\geq f(x_{2})$

 

Spunem ca functia f este strict descrescatoare pe A, daca pentru orice $latex x_{1}, x_{2}\in A$, cu $latex x_{1}<x_{2}$, rezulta si ca $latex f(x_{1})>f(x_{2})$.

Functia $latex f:A\rightarrow R$ este monotona pe A, daca este crescatoare sau descrescatoare pe A.

 

Functia $latex f:A\rightarrow R$ estestrict  monotona pe A, daca este strict crescatoare sau strict descrescatoare pe A.

Modalitati de demonstrare ca o functia $latex f:A\rightarrow R$ este monotona:

1. Fie $latex x_{1}, x_{2}$ elemente oarecare din A cu $latex x_{1}<x_{2}$
2. a) Daca $latex f(x_{1})-f(x_{2})\leq 0$, atunci functia este crescatoare
3. b) Daca $latex f(x_{1})-f(x_{2})\geq 0$, atunci functia este descrescatoare
4. a)Daca $latex \frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\geq 0, x_{1}\neq x_{2}$, atunci functia este crescatoare.
5. b) Daca $latex \frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\leq 0, x_{1}\neq x_{2}$, atunci functia este descrescatoare.

Aplicatii:

Studiati monotonia frunctiilor:

1. a) $latex f:\left\{-1, 0, 1, 2\right\}\rightarrow R, f(x)=x+1$

Solutie:

Calculam:

 

Observam ca $latex x_{1}=-1<x_{2}=0\Rightarrow f(-1)<f(0)$, adica obtinem ca functia este strict crescatoare.

Dar putem sa aratam si astfe:

Fie $latex x_{1}, x_{2}\in\left\{-1, 0, 1, 2\right\}, x_{1}<x_{2}$, atunci:

$latex f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+1-(x_{2}+1)=x_{1}+1-x_{2}-1=x_{1}-x_{2}<0$, deoarece $latex x_{1}<x_{2}$, atunci functia este crescatoare.

1. b) $latex f:(0,+\infty)\rightarrow R, f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+|x|}}$

Solutie:

Calculam:

$latex f(1)=\frac{1}{\sqrt{1+|1|}}=\frac{1}{\sqrt{1+1}}=^{\sqrt{2})}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

 

$latex f(2)=\frac{1}{\sqrt{2+|2|}}=\frac{1}{\sqrt{2+2}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$

Astfel avem ca $latex x_{1}=1$ si $latex x_{2}=2$, cu $latex x_{1}<x_{2}$

Si avem ca $latex f(1)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1, 41}{2}\approx 0, 70$

Iar

$latex f(2)=\frac{1}{2}=0,5$, adica obtinem ca: $latex f(1)>f(2)$, adica functia este strict descrescatoare.