La proprietatile generale ale functiilor o sa discutam despre:
- functii marginite
- functii pare si functii impare
- functii periodice
- functii monotone
Asadar incepem cu functiile marginite:
Definitie: Fie , o functie numerice. Spune ca functia f este marginita, daca exista numerele reale a si b, astfel incat
Sau functia este marginita, daca imaginea functiei (multimea valorilor functiei) este inclusa intr-un interval de numere reale.
Adica f marginita, daca , astfel incat
.
De asemenea putem afirma ca o functie este marginita, daca exista astfel incat
.
Dar si cu ajutorul graficului functii, spune ca o functie este marginita daca graficul sau este cuprins intre doua drepte paralele cu axa OX.
Aplicatii:
Studiati marginirea functiilor:
- a)
Asadar calculam
Astfel obtinem ca , adica este inclusa intr-un interval de numere reale si astfel obtinem ca
este o functie marginita.
- b)
, unde
este ultima cifra a numarului
Asadar calculam
Asadar obtinem ca , adica functia este marginita.
Functii pare si functii impare.
O multime se numeste simetrica fata de originea axei reale, daca oricare ar fi
, atunci si
.
Exemplu sunt simetrice fata de originea axei reale.
Fie o multime simetrica fata de origine si fie
o functie numerica.
Functia f se numeste functie impara, daca
Graficul functie impare este simetric fata de origine reperului, adica originea O este centru de simetrie pentru graficul functiei.
Functia f se numeste functie para, daca
Graficul functiei pare este simetric fata de axa OY, adica axa OY este axa de simetrie pentru graficul sau.
Simetria graficului fata de drepte de forma x=m
Fie o functei numeric si dreapta de ecuatie
Dreapta este axa de simetrie a graficului functiei f, daca si numai daca
Simetria graficului fata de puncte oarecare in plan.
Graficul functiei f este simetric fata de punctul , daca si numai daca
.
Aplicatii:
- Care dintre urmatoarele functii sunt pare si care sunt impare:
- a)
Pentru stabili daca functia este para sau impara calculam:
, adica functia este impara.
Stim ca orice numar negativ ridicat la o putere impara ne da tot un numar negativ, adica
Observati ca sus pentru a obtine functia am dat factor comun fortat un – si astfel am obtinut ca functia estye impara.
- b)
Astfel calculam:
, adica functei para.
Observati ca in cazul de sus am avut numar negativ ridicat la putere para si am obtinut un numar pozitiv.
Functii periodice
Definitie: Fie o fuctie numerica. Functai f se numeste functie periodica, daca exista
, astfel incat
.
Numarul T se numeste perioada functiei f.
Daca printre perioadele strict pozitive ale lui f, exista un cel mai mic m atunci
se numeste perioada principala a functiei f.
Teorema:
Fie , o functie care are perioada principala
. Atunci:
– numarul este perioada a functiei f
– oricare ar fi perioada a functiei f, exista
, astfel incat
Aplicatii:
Aflati perioada principala pentru urmatoarele functii:
- a)
Asadar calculam:
Observam ca valorile functiei se repeta din 2 in doi.
Intr-adevar:
Asadar obtinem ca
Adica
Astfel obtinem ca functia f este periodica cu perioada principala
- b) Se considera functia
.
a)Este periodica functia?
b)Care este multimea perioadelor functiei f?
Solutie:
- a) Asadar calculam:
Observam ca acum cifrele incep sa se repete, astfel obtinem ca
, adica
Astfel calculam
Astfel obtinem ca functia este periodica cu perioada principala
- b) Multimea perioadelor functiei este
.
Functii monotone:
Fie functia numerica .
Spunem ca functia f este crescatoare pe A, daca pentru orice , cu
, rezulta si ca
Spunem ca functia f este strict crescatoare pe A, daca pentru orice , cu
, rezulta si ca
Spunem ca functia f este descrescatoare pe A, daca pentru orice , cu
, rezulta si ca
Spunem ca functia f este strict descrescatoare pe A, daca pentru orice , cu
, rezulta si ca
.
Functia este monotona pe A, daca este crescatoare sau descrescatoare pe A.
Functia estestrict monotona pe A, daca este strict crescatoare sau strict descrescatoare pe A.
Modalitati de demonstrare ca o functia este monotona:
- Fie
elemente oarecare din A cu
- a) Daca
, atunci functia este crescatoare
- b) Daca
, atunci functia este descrescatoare
- a)Daca
, atunci functia este crescatoare.
- b) Daca
, atunci functia este descrescatoare.
Aplicatii:
Studiati monotonia frunctiilor:
- a)
Solutie:
Calculam:
Observam ca , adica obtinem ca functia este strict crescatoare.
Dar putem sa aratam si astfe:
Fie , atunci:
, deoarece
, atunci functia este crescatoare.
- b)
Solutie:
Calculam:
Astfel avem ca si
, cu
Si avem ca
Iar
, adica obtinem ca:
, adica functia este strict descrescatoare.
Lasă un răspuns
Trebuie să fii autentificat pentru a publica un comentariu.