Proprietatile generale ale functiilor

La proprietatile generale ale functiilor o sa discutam despre:

functii marginite
functii pare si functii impare
functii periodice
functii monotone

Asadar incepem cu functiile marginite:

Definitie: Fie $f:A\rightarrow R$ , o functie numerice. Spune ca functia f este marginita, daca exista numerele reale a si b, astfel incat $a\leq f\left(x\right)\leq b$

Sau functia $f:A\rightarrow R$ este marginita, daca imaginea functiei (multimea valorilor functiei) este inclusa intr-un interval de numere reale.

Adica f marginita, daca $\exists a, b\in R, a\leq b$ , astfel incat $Im f\subset [a, b]$ .

De asemenea putem afirma ca o functie este marginita, daca exista $M>0$ astfel incat $|f(x)|\leq M$ .

Dar si cu ajutorul graficului functii, spune ca o functie este marginita daca graficul sau este cuprins intre doua drepte paralele cu axa OX.

Aplicatii:

Studiati marginirea functiilor:

a) $f:Z\rightarrow Z, f(n)=(-1)^{n}$

Asadar calculam

$f(-1)=(-1)^{-1}=\frac{1}{(-1)^{1}}=\frac{1}{-1}=-1$

$f(0)=(-1)^{0}=1$

$f(1)=(-1)^{1}=-1$

Astfel obtinem ca $Im f=\left\{-1, 1\right\}\subset\left[-1, 1\right]$ , adica este inclusa intr-un interval de numere reale si astfel obtinem ca $f(n)=(-1)^{n}$ este o functie marginita.

b) $f:N^{*}\rightarrow N, f(n)=u(2^{n})$ , unde $u(2^{n})$ este ultima cifra a numarului $2^{n}$

Asadar calculam

$f(1)=u(2^{1})=2$

$f(2)=u(2^{2})=u(4)=4$

$f(3)=u(2^{3})=u(8)=8$

$f(4)=u(2^{4})=u(16)=6$

$f(5)=u(2^{5})=u(32)=2$

$f(6)=u(2^{6})=u(64)=4$

$f(7)=u(2^{7})=u(128)=8$

Asadar obtinem ca $Im f=\left\{2, 4, 6, 8\right\}\subset\left[2, 8\right]$ , adica functia este marginita.

Functii pare si functii impare.

O multime $A\subset R$ se numeste simetrica fata de originea axei reale, daca oricare ar fi $x\in A$ , atunci si $-x\in A$ .

Exemplu $(-2, 2)$ sunt simetrice fata de originea axei reale.

Fie $A\subset R$ o multime simetrica fata de origine si fie $f:A\rightarrow R$ o functie numerica.

Functia f se numeste functie impara, daca $f(-x)=-f(x)$

Graficul functie impare este simetric fata de origine reperului, adica originea O este centru de simetrie pentru graficul functiei.

Functia f se numeste functie para, daca $f(-x)=f(x)$

Graficul functiei pare este simetric fata de axa OY, adica axa OY este axa de simetrie pentru graficul sau.

Simetria graficului fata de drepte de forma x=m

Fie $f:A\rightarrow R$ o functei numeric si dreapta de ecuatie $x=m$

Dreapta $x=m$ este axa de simetrie a graficului functiei f, daca si numai daca $f(x)=f(2m-x), \forall x\in A$

Simetria graficului fata de puncte oarecare in plan.

Graficul functiei f este simetric fata de punctul $A\left(a, b\right)$ , daca si numai daca $f(x)+f(2a-x)=2b, \forall x\in A$ .

Aplicatii:

Care dintre urmatoarele functii sunt pare si care sunt impare:
a) $f(x)=x^{3}-2x$

Pentru stabili daca functia este para sau impara calculam:

$f(-x)=\left(-x\right)^{3}-2\cdot\left(-x\right)=-x^{3}+2x=-\left(x^{3}-2x\right)=-f(x)$ , adica functia este impara.

Stim ca orice numar negativ ridicat la o putere impara ne da tot un numar negativ, adica $\left(-x\right)^{3}=-x^{3}$

Observati ca sus pentru a obtine functia $f(x)$ am dat factor comun fortat un – si astfel am obtinut ca functia estye impara.

b) $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{6}+1}$

Astfel calculam:

$f(-x)=\frac{\left(-x\right)^{2}}{\left(-x\right)^{6}+1}=\frac{x^{2}}{x^{6}+1}=f(x)$ , adica functei para.

Observati ca in cazul de sus am avut numar negativ ridicat la putere para si am obtinut un numar pozitiv.

Functii periodice

Definitie: Fie $f:A\rightarrow R$ o fuctie numerica. Functai f se numeste functie periodica, daca exista $T\in R^{*}$ , astfel incat $f(x+T)=f(x),\forall x\in A$ .

Numarul T se numeste perioada functiei f.

Daca printre perioadele strict pozitive ale lui f, exista un cel mai mic $T_{0}$ m atunci $T_{0}$ se numeste perioada principala a functiei f.

Teorema:

Fie $f:R\rightarrow R$ , o functie care are perioada principala $T_{0}, k\in Z$ . Atunci:

– numarul $kT_{0}$ este perioada a functiei f

– oricare ar fi perioada $T$ a functiei f, exista $n\in Z$ , astfel incat $T=n\cdot T_{0}$

Aplicatii:

Aflati perioada principala pentru urmatoarele functii:

a) $f:Z\rightarrow Z, f(n)=(-1)^{n}$

Asadar calculam:

$f(-2)=(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^{2}}=\frac{1}{4}$

$f(-1)=(-1)^{-1}=\frac{1}{(-1)^{1}}=\frac{1}{-1}=-1$

$f(0)=(-1)^{0}=1$

$f(1)=(-1)^{1}=-1$

$f(2)=(-1)^{2}=1$

Observam ca valorile functiei se repeta din 2 in doi.

Intr-adevar:

$f(2k)=(-1)^{2k}=1$

$f(2k+1)=(-1)^{2k+1}=-1$

Asadar obtinem ca $f(n+2)=f(n)$

Adica

$f(n+2)=\left(-1\right)^{n+2}=\left(-1\right)^{n}\cdot\left(-1\right)^{2}=\left(-1\right)^{n}\cdot 1=\left(-1\right)^{n}=f(n)$

Astfel obtinem ca functia f este periodica cu perioada principala $T_{0}=2$

b) Se considera functia $f:N\rightarrow N, f(n)=u(7^{n})$ .

a)Este periodica functia?

b)Care este multimea perioadelor functiei f?

Solutie:

a) Asadar calculam:

$f(0)=u(7^{0})=u(1)=1$

$f(1)=u(7^{1})=u(7)=7$

$f(2)=u(7^{2})=u(49)=9$

$f(3)=u(7^{3})=u(343)=3$

$f(4)=u(7^{4})=u(2401)=1$

$f(5)=u(7^{5})=u(16807)=7$

Observam ca acum cifrele incep sa se repete, astfel obtinem ca

$f(n+4)=f(n)$ , adica $T_{0}=4$

Astfel calculam

$f(n+4)=u(7^{n+4})=u(7^{n}\cdot 7^{4})=u(7^{n})\cdot u(7^{4})=u(7^{n})\cdot 1=u(7^{n})=f(n)$

Astfel obtinem ca functia este periodica cu perioada principala $T_{0}=4$

b) Multimea perioadelor functiei este $T\in\left\{4\cdot k|k\in N^{*}\right\}$ .

Functii monotone:

Fie functia numerica $f:A\rightarrow R$ .

Spunem ca functia f este crescatoare pe A, daca pentru orice $x_{1}, x_{2}\in A$ , cu $x_{1}<x_{2}$ , rezulta si ca $f(x_{1})\leq f(x_{2})$

Spunem ca functia f este strict crescatoare pe A, daca pentru orice $x_{1}, x_{2}\in A$ , cu $x_{1}<x_{2}$ , rezulta si ca $f(x_{1})< f(x_{2})$

Spunem ca functia f este descrescatoare pe A, daca pentru orice $x_{1}, x_{2}\in A$ , cu $x_{1}<x_{2}$ , rezulta si ca $f(x_{1})\geq f(x_{2})$

Spunem ca functia f este strict descrescatoare pe A, daca pentru orice $x_{1}, x_{2}\in A$ , cu $x_{1}<x_{2}$ , rezulta si ca $f(x_{1})>f(x_{2})$ .

Functia $f:A\rightarrow R$ este monotona pe A, daca este crescatoare sau descrescatoare pe A.

Functia $f:A\rightarrow R$ estestrict monotona pe A, daca este strict crescatoare sau strict descrescatoare pe A.

Modalitati de demonstrare ca o functia $f:A\rightarrow R$ este monotona:

Fie $x_{1}, x_{2}$ elemente oarecare din A cu $x_{1}<x_{2}$
a) Daca $f(x_{1})-f(x_{2})\leq 0$ , atunci functia este crescatoare
b) Daca $f(x_{1})-f(x_{2})\geq 0$ , atunci functia este descrescatoare
a)Daca $\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\geq 0, x_{1}\neq x_{2}$ , atunci functia este crescatoare.
b) Daca $\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\leq 0, x_{1}\neq x_{2}$ , atunci functia este descrescatoare.