Ne place matematica !

Rapoarte si proportii Raport Valoarea raportului

Dupa ce am invatat sa rezolvam exercitiile cu numere rationale, dar si ecuatiile cu numere rationale a venit vremea sa discutam despre Rapoarte si proportii, astazi discutam despre Raport.

Definitie: Fiind date numerele rationale pozitive a si b, cu b\neq 0, prin raportul lor intelegem numarul rational  a:b, notat \frac{a}{b}.

Exemplu:

Intr-o clasa sunt 16 baieti si 12 fete. Spunem ca raportul dintre  numarul baietilor si numarul fetelor este egal cu \frac{16}{12}^{(4}=\frac{4}{3}.

Scriem \frac{a}{b} este raportul, iar a si b sunt termenii raportului.

Observatie la scrierea raportului a doua marimi, de aceiasi natura, trebuie tinut seama ca aceasta trebuie obligatoriu sa fie exprimate in aceiasi unitate de masura.

Exemplu:

1)  Latimea unui dreptunghi este egala cu 180 cm, iar lungimea este egala cu 3, 6 m. Pentru a afla raportul dintre latimea l si lungimea L dreptunghiului, mai intai transformam L=3,6m=360 cm si apoi obtinem:

\frac{l}{L}=\frac{180}{360}^{(20}=\frac{9}{18}^{(9}=\frac{1}{2}

Dar putem sa formam rapoarte si cu cantitati de tipuri diferite:

Exemplu:

Daca unui om ii trebuie 4 ore pentru a parcurge 16 km, atunci se formeaza raportul dintre distanta parcura si numarul de ore

\frac{16 km}{4 h}=16km:4 h=4km/h.

In cazul de fata formarea  raportul  a dus la un nou concept dupa cum bine stiti si de la Fizica, adica de viteza km/h.

Valoarea raportului

Fiecare raport \frac{a}{b} are o valoare c, pe care o obtinem astfel a:b=c

Exemplu :

Valoarea raportului \frac{7}{2} este egala cu 3,5, deoarece avem 7:2=3,5

Exercitiu:

1) Se stie ca \frac{11a}{5b}=550. Calculati valoarea raportului \frac{a}{b}

Solutie :Stim ca

\frac{11a}{5b}=550.

Daca inmultim cu 5, egalitatea de mai sus obtinem:

\frac{11a}{5b}=550|\cdot 5\Rightarrow \frac{11a}{5b}\cdot 5=550\cdot 5\Rightarrow \frac{11a}{b}=2750

Acum cada impartim la 11 egalitatea pe care am obtinut-o mai sus obtinem:

\frac{11a}{b}=2750|:11\Rightarrow \frac{11a}{b}:11=2750:11\Rightarrow \frac{11a}{b}\cdot\frac{1}{11}=250\Rightarrow \frac{11a}{11b}^{(11}=250\Rightarrow \frac{a}{b}=250

Si astfel am obtinut ca raportul \frac{a}{b}=250.

2) Stiind ca \frac{x}{y}=0,75 aflati valoarea raportului \frac{5y-7x}{6y-8x} daca exista.

Solutie :

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus scoatem pe x in functie de y si astfel obtinem:

\frac{x}{y}=0,75\Rightarrow x=0,75y

Iar acum inlocuim in raportul pe care ni-l da problema:

\frac{5y-7x}{6y-8x}=\frac{5y-7\cdot 0,75 y}{6y-8\cdot 0,75y}=\frac{5y-5,25y}{6y-6y}

Observam ca nu putem sa efectuam scaderea in multimea numerelor naturale, iar la numitorul raportului obtinem 0, si din definitia raportului stim ca numitorul trebuie sa fie diferit de 0, deci raportul nu exista.

3) Un dreptunghi are aria egala cu 6 cm^{2}. Determinati lungimile laturilor sale stiind ca raportul dintre latime si lungime are valoarea 0,\left(6\right).

Solutie

Stiind aria dreptunghiului, astfel scriem:

L\cdot l=6(*)

Dar mai stim si \frac{l}{L}=0,\left(6\right)\Rightarrow \frac{l}{L}=\frac{6}{9}^{(3}=\frac{2}{3}

Astfel daca scoatem latimea in relatia de mai sus in funtie de lungime obtinem:

l=\frac{2}{3}\cdot L

Acum inlocuind in relatia (*) obtinem:

L\cdot \frac{2}{3}L=6\Rightarrow \frac{2}{3}L^{2}=6|\cdot 3\Rightarrow 2L^{2}=18|:2\Rightarrow L^{2}=9\Rightarrow L^{2}=3^{2}\Rightarrow L=3

Deci lungimea este de 3 cm.

Acum sa aflam latimea

Stim ca :

l=\frac{2}{3}\cdot 3=\frac{6}{3}=6:3=2

Deci lungimea este egala cu 2 cm.