Reprezentarea analitica a dreptei in plan Ecuatia carteziana generala a dreptei

Consideram un plan cartezian P, cu un reper cartezian Ox, Oy.
Definitie: O multime $d\subset P$ este o dreapta daca si numai daca exista trei numere reale a, b, c ci $a\neq 0$ sau $b\neq 0$ , astfel incat:
$d=\left\{\left(x,y\right)|ax+by+c=0\right\}$

Daca are loc relatia de mai sus spunem ca d este dreapta de ecuatie: $ax+by+c=0$ si se scrie $d:ax+by+c=0$

Despre dreapta $d:ax+by+c=0$ afirma:
– d are aceeasi directie cu Ox (este orizonatala) daca si numai daca $a=0$
– d are aceeasi directie cu Oy (este verticala) daca si numai daca $b=0$
– d este oblica daca si numai daca $a\neq 0$ , si $b\neq 0$
Dreptele $d:ax+by+c=0$ si $d':a'x+b'y+c'=0$ coincid, daca si numai daca exista un numar real $\lambda\neq 0$ astfel incat:
$a'=\lambda\cdot a, b'=\lambda\cdot b, c'=\lambda\cdot c$

Aplicatie:

1. Aflati valoarea parametrului $c\in R$ pentru care dreapta de ecuatie $d:2x-3y+c=0$ trece prin punctul $A\left(6, 3\right)$

Solutie: $A\in d\Rightarrow 2\cdot 6-3\cdot 3+c=0\Rightarrow 12-9+c=0\Rightarrow 3+c=0\Rightarrow c=-3$

Deci c=-3.

Ecuatii carteziene particulare a dreptei

Fie dreapta $d:Ax+By+C=0$ , unde $A\neq 0$ sau $B\neq 0$

Daca $B\neq 0$ , adica b nu are aceeasi directie cu Oy si avem $Ax+By+C=0\Leftrightarrow y=-\frac{A}{B}-\frac{C}{A}$ , de unde notam $y=-\frac{A}{B}$ si $n=-\frac{C}{A}$ si obtinem ecuatia $y=mx+n$

Dar exista si reciproca, astfel consideram numerele reale m si n date de ecuatia unei drepte care nu are aceeasi directie cu Oy, $y=mx+n$

astfel $y=mx+n\Leftrightarrow mx-y+n=0\Leftrightarrow ax+by+c=0$ , cu $a=m. b=-1, c=n$ .

Definitie: Vom spune ca $y=mx+n$ este ecuatia carteziana explicita a dreptei in plan.

Daca dreapta d are ecuatia $y=mx+n$ , atunci:

– numarul m se numeste panta dreptei d sau coeficientul unghiular al dreptei d.

-numarul n se numeste ordonata la origine a dreptei d

Observatie: Numai dreptele care nu sunt verticale pot fi reprezentate printr-o ecuatie explicita.

Teorema. Daca m este panta unei drepte care nu este verticala si care trece prin punctele $A\left(x_{A}, y_{B}\right), B\left(x_{B},y_{B}\right)$ , atunci $m=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}$

Daca m este panta unei drepte d care nu este verticala si $\theta$ este masura unghiului dintre dreapta d si axa Ox, atunci $m=\tan\theta$

Observatie. In cazul dreptei oblice sau orizontale $d:y=mx+n$ , masura unghiului dintre dreapta d si axa Ox este $\theta=\arctan m$ .

Fie d si d’ doua drepte care nu sunt verticale $d: y=mx+n$ si $d^{'}:y=m^{'}x+n^{'}$

Folosind semnificatia geometrica a pantei, rezulta:

-d si d’ au aceeasi directie daca si numai daca $m=m^{'}$

– d si d’ sunt paralele daca si numai daca $m=m^{'}$ si $d\neq d^{'}$

Ecuatia unei drepte care trece printr-un punct dat:

Fie in plan un punct $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ si o dreapta d care trece prin punctul A.

Daca d este verticala atunci ecuatia dreptei d este $d:x=x_{A}$

Daca d nu este verticala, atunci scriem ecuatia lui d sub forma explicita si anume $y=mx+n$ , unde $m,n\in R$ . cum stim ca $A\in d$ , avem $y_{A}=mx_{A}+n$ , adica $n=y_{A}-mx_{A}$ si cu ecuatia de mai sus obtinem $y=mx+n=mx+y_{A}-mx_{A}\Rightarrow y=mx+y_{A}-mx_{A}\Rightarrow y-y_{A}=mx-mx_{A}\Rightarrow y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)$

Asadar ecuatia unei drepte d care trece prin punctul $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ si are panta m este $y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)$

Dar trebuie sa scriem si ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte distincte.

Ecuatia unei drepte care trece prin punctele distincte $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ si $B\left(x_{B}, y_{B}\right)$ este:

– AB: $x=x_{A}$ , daca $x_{A}=x_{B}$

– $AB:y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)$ , daca $x_{A}\neq x_{B}$ , unde $m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$

Aplicatie:

Scrieti ecuatia dreptei care trece prin punctele A, B, unde:

a) $A\left(-2,4\right), B\left(-2, 1\right)$

Avem $x_{A}=x_{B}=-2$ , deci $AB||Oy$ si $AB:x=-2$

b) $A\left(2, 3\right), B\left(-1, 3\right)$ , deci cu notiunile de mai sus obtinem ca $y_{A}=y_{B}$ , deci $AB||Ox$ si $AB:y=2$

c) $A\left(1, 2\right),B\left(3, 5\right)$

Constatam ca dreapta AB este oblica, deoarece:

$x_{A}\neq x_{B}\Rightarrow 1\neq 3$ si $y_{A}\neq y_{B}\Rightarrow 2\neq 5$

Iar ecuatia dreptei este: $y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)$

Iar $m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{5-2}{3-1}=\frac{3}{2}$

Iar ecuatia dreptei este: $y-2=\frac{3}{2}\left(x-1\right)\Rightarrow 2\left(y-2\right)=3\left(x-1\right)\Rightarrow 2y-4=3x-3\Rightarrow 3x-2y+4-3=0\Rightarrow 3x-2y+1=0$

Sau putem sa scriem ecuatia dreptei si cu ajutorul ecuatiei drepte explicite, deci stim ca $y=mx+n$

Adica $AB:y=mx+n$ , adica coordonatele punctelor A si B trebuie sa verifice aceasta ecuatie, deci

$2=m\cdot 1+n\Rightarrow 2=m+n$

Dar si $5=m\cdot 3+n\Rightarrow 5=3m+n$ acum din cele doua relatii gasite trbuie sa aflam m si n.

$2=m+n\Rightarrow m=2-n$

Acum daca inlucuim in cea de-a doua relatie obtinem $5=3m+n\Rightarrow 5=3\cdot\left(2-n\right)+n\Rightarrow 5=6-3n+n\Rightarrow 5-6=-2n\Rightarrow -1=-2n\Rightarrow n=\frac{1}{2}$

Iar acum sa aflam m $m=2-\frac{1}{2}\Rightarrow m=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\Rightarrow m=\frac{3}{2}$

Deci ecuatia dreptei este $y=mx+n\Rightarrow y=\frac{3}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\Rightarrow 2y=3x+1\Rightarrow 2y-3x-1=0\Rightarrow -3x+2y-1=0\Rightarrow 3x-2y+1=0$

Reprezentarea analitica a dreptei in plan Ecuatia carteziana generala a dreptei

Recente

Categorii