Subiectul I
1. Sa se rezolve ecuatia: \sqrt[3]{x^{3}+x+1}=x
2. Sa se calculeze \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}-\log_{5}25
3. Sa se rezolve inecuatia: C_{17}^{x}\leq C_{17}^{x-2}, x\in N, x\geq 2
4. Sa se calculeze probabilitatea ca alegand un numar natural de doua cifre acesta sa fie cub perfect.
5. Sa se calculeze \sin^{2} 120^{0}+\cos^{2} 60^{0}
6. Sa se determine suma primilor trei termeni ai unei progresii geometice, stiind ca suma primilor doi termeni ai progresi este egal cu 8, iar diferenta intre al doilea termen si primul termen este egala cu 4.
Solutie:
1. Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus, rezolvam egalitatea de mai sus la cub si obtinem:
x^{3}+x+1=x^{3}\Rightarrow x^{3}+x+1-x^{3}=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1
Deci solutia ecuatii de mai sus este x=-1
2. La exercitiu de mai sus folosim regulile de calcul cu puteri, dar si regulile de calcul cu radicali:
\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}-\log_{5} 25=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}-\log_{5}5^{2}=  \frac{1}{1}\cdot \frac{2^{3}}{1^{3}}-2\cdot\log_{5}5=2^{3}-2\cdot 1=8-2=6

3. Ca sa rezolvam exercitiu de mai sus punem conditiile:
x\leq 17 dar si x-2\leq 17
Deci la prima inecuatie x\leq 17\Rightarrow x\in\left(-\infty, 17\right]
Iar pentru a doua ecuatie:
x-2\leq 17\Rightarrow x\leq 17+2\Rightarrow x\leq 19\Rightarrow x\in\left(-\infty,19\right]
Iar intersectia dintre cele doua inecuatii obtinem ca:

\left(-\infty, 17\right]\cap\left(-\infty, 19\right]=\left(-\infty, 17\right]
Acum rezolvam inecuatia:
C_{17}^{x}\leq C_{17}^{x-2}\Rightarrow \frac{17!}{\left(17-x\right)!\cdot x!}\leq\frac{17!}{\left(17-x+2\right)!\left(x-2\right)!}\Rightarrow
\frac{17!}{\left(17-x\right)\cdot x!}\leq\frac{17!}{\left(19-x\right)!\cdot\left(x-2\right)!}\Rightarrow
\frac{17!}{17!}\leq\frac{\left(17-x\right)!\cdot x!}{\left(x-19\right)!\cdot\left(x-2\right)!}\Rightarrow 1\leq\frac{\left(17-x\right)!\cdot x!}{\left(19-x\right)!\cdot\left(x-2\right)!}\Rightarrow
\frac{\left(x-2\right)!}{x!}\leq\frac{\left(17-x\right)!}{\left(19-x\right)!}\Rightarrow
\frac{\left(x-2\right)!}{\left(x-2\right)!\cdot\left(x-1\right)\cdot x}\leq\frac{\left(17-x\right)!}{\left(17-x\right)!\cdot \left(18-x\right)\cdot\left(19-x\right)}\Rightarrow
\frac{1}{\left(x-1\right)\cdot x}\leq\frac{1}{\left(18-x\right)\cdot\left(19-x\right)}\Rightarrow \left(18-x\right)\cdot\left(19-x\right)\leq\left(x-1\right)\cdot x\Rightarrow
18\cdot 19-18x-19x+x^{2}\leq x^{2}-x\Rightarrow 18\cdot 19-37x+x^{2}-x^{2}+x\leq 0\Rightarrow 18\cdot 19-36x\leq 0\Rightarrow -36x\leq-18\cdot 19\Rightarrow
36x\geq 18\cdot 19\Rightarrow x\geq\frac{18\cdot 19}{36}^{18}\Rightarrow
x\geq\frac{1\cdot 19}{2}\Rightarrow x\geq\frac{19}{2}\Rightarrow x\geq 9,5
Cum x\in N obtinem ca x\in\left[10, +\infty\right]
Iar intersectia intre cele doua intervale este
\left(-\infty,17\right]\cap\left[10,+\infty\right)=\left[10,17\right]=\left\{10,11,12,13,14,15,16,17\right\}
4. Numerele naturale de doua cifre sunt de la 10 la 99, adica fie A=\left\{10,11,...,99\right\}, deci numarul elementelor multimii A este de 90
Sau putem sa aflam si altfel
Stim ca numerele sunt in progresie aritmetica cu ratia r=1, deci stim ca termenul general este 99, deci noi trebuie sa aflam n=?
Stim ca a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 99=10+\left(n-1\right)\cdot 1\Rightarrow 99-10=n-1\Rightarrow 89=n-1\Rightarrow 89+1=n\Rightarrow n=90, deci numarul de elemente al multimi a este de 90 (numarul de cazuri posibile)
Acum sa aflam cate cuburi perfecte de doua cifre avem:
Astfel 27 64 (numar de cazuri favorabile)
Astfel probabilitatea este
P=\frac{numar\;\; cazuri\;\; favorabile}{numar \;\;cazuri\;\; posibile}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}
5. Stim ca \sin\left(180^{0}-60^{0}\right)=\sin 180^{0}\cdot\cos 60^{0}- \cos 180^{0}\cdot \sin 60^{0}=0\cdot \cos 60^{0}-\left(-1\right)\cdot\sin 60^{0}=0+1\cdot \sin 60^{0}=\sin 60^{0}
Deci
\sin^{2}120^{0}+\cos^{2}60^{0}=\sin^{2}60^{0}+\cos^{2}60^{0}=1
6. Stim ca suma primilor doi termeni este egala cu 8 astfel avem
a_{1}+a_{2}=8
Iar diferenta dintre al doilea si primul termen este egala cu 4, astfel avem ca
a_{2}-a_{1}=4
Dar stim ca termeni sunt i progresie geometrica astfel stim ca
a_{2}=a_{1}\cdot q
unde q este ratia progresiei geometrice, astfel avem ca
a_{1}+a_{2}=8\Rightarrow a_{1}+a_{1}\cdot q=8\Rightarrow a_{1}\cdot\left(1+q\right)=8\Rightarrow a_{1}=\frac{8}{1+q}(*)
dar si
a_{2}-a_{1}=4\Rightarrow a_{1}\cdot q-a_{1}=4\Rightarrow a_{1}\left(q-1\right)=4(**)
Acum din (*) si (**) obtinem ca:
a_{1}\left(q-1\right)=4\Rightarrow \frac{8}{q+1}\cdot\left(q-1\right)=4\Rightarrow \frac{q-1}{q+1}=\frac{4}{8}^{(4}\Rightarrow \frac{q-1}{q+1}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2\left(q-1\right)=q+1\Rightarrow 2q-2=q+1\Rightarrow 2q-q=1+2\Rightarrow q=3
Deci cum stim ratia putem sa aflam termeni
a_{1}+a_{2}=8\Rightarrow a_{1}+a_{1}\cdot q=8\Rightarrow a_{1}+a_{1}\cdot 3=8\Rightarrow 4a_{1}=8\Rightarrow a_{1}=8:4\Rightarrow a_{1}=2
Acum calculam
a_{2}=a_{1}\cdot q=2\cdot 3=6
Iar a_{3}=a_{2}\cdot 6=2\cdot 3=18
Iar suma primilor trei termeni este:
S=a_{1}+a_{2}+a_{3}=2+6+18=26