exercitii rezolvate cu logaritmi

Ecuatii si inecuatii exponentiale si logaritmice

Publicat în de MATEPEDIA

Incepem prin a prezenta ecuatiile exponentiale

Ecuatia exponentiala este o ecuatie in care necunoscuta este exponent sau o ecuatie in care este exponent o expresie care contine necunoscuta.
Daca avem sa rezolvam o ecuatie exponetiala procedam astfel:

– folosim diverse substitutii precus si proprietatile functiilor exponentiale, cautam sa o reducem la rezolvarea unei ecuatii simple, de regula de gradul I sau e gradul al doilea.
Exemple:
Sa se rezolve in R ecuatiile:

a) 5^{x}=125\Rightarrow 5^{x}=5^{3}\Rightarrow x=3
Deci cand avem sa rezolvam o astfel de ecuatie procedam astfel:

– in parte stanga avem necunoscuta la exponet, iar in partea dreapta apare un numar natural, astfel descompunem numarul din partea dreapta in produs de factori (il aducem la aceiasi baza, adica 5 la o anumita putere, in cazul nostru 5 la putere a 3) iar apoi egalam exponentii.

Astfel cele mai multe ecuatii exponentiale sunt reductibile la forma a^{f\left(x\right)}=b cu a>0, b>0 a\neq 1
In astfel de ecuatii b se poate exprima ca putere a lui a b=a^{\alpha}, de unde obtinem ecuatia a^{f\left(x\right)}=a^{\alpha}\Rightarrow f\left(x\right)=\alpha

b) 9^{x}=\frac{1}{729}
Observam ca 729=9^{3}. Astfel ecuatia exponentiala devine: 9^{x}=\frac{1}{9^{3}}\Rightarrow 9^{x}=\left(9^{3}\right)^{-1}\Rightarrow 9^{x}=9^{-3}\Rightarrow x=-3

Deci solutia ecuatiei este x=-3.

c) 2^{x^{2}-6x-2,5}=16\sqrt{2}\Rightarrow 2^{x^{2}-6x-2,5}=2^{4}\sqrt{2}|^{2}\Rightarrow \left(2^{x^{2}-6x-2,5}\right)^{2}=\left(2^{4}\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow2^{2x^{2}-2\cdot 6x-2\cdot 2,5}=2^{4\cdot 2}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow 2^{2x^{2}-12x-5}=2^{8}\cdot 2\Rightarrow 2^{2x^{2}-12x-5}=2^{8+1}\Rightarrow 2^{2x^{2}-12x-5}=2^{9}\Rightarrow 2x^{2}-12x-5=9\Rightarrow 2x^{2}-12x-5-9=0\Rightarrow 2x^{2}-12x-14=0

Acum calculam \Delta =\left(-12\right)^{2}-4\cdot 2\cdot\left(-14\right)=144+112=256
Astfel avem ca:x_{1}=\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{256}}{2\cdot 2}=\frac{12+16}{4}=\frac{28}{4}=7
Iar x_{2}=\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{256}}{2\cdot 2}=\frac{12-16}{4}=\frac{-4}{4}=-1

Deci solutiile ecuatiei sunt -1 si 7.

Dar exista si ecuatii care nu se reduc la nici una din formele discutate, astfel avem:
2^{x}=3^{2x+1}.
Daca tinem cont de injectivitatea functiei logaritmice obtinem prin logaritmarea ecuatiei de mai sus echivalenta:
\lg{2^{x}}=\lg{3^{2x+1}}\Rightarrow x\lg{2}=\left(2x+1\right)\lg{3}\Rightarrow x\lg{2}=2x\lg{3}+lg{3}\Rightarrow x\lg{2}-2x\lg{3}=\lg{3}\Rightarrow x\left(2\lg{3}-\lg{2}\right)=-\lg{3}\Rightarrow x=\frac{-\lg{3}}{2\lg 3-\lg{2}}
Ecuatii logaritmice:

Ecuatiile logaritmice sunt ecuatii in care expresiile ce contin necunoscute apar ca baza sau ca argument al unor logaritmi.
Tot ca si la rezolvarea ecuatiei exponentiale folosind injectivitatea functiei exponetiale, avem ca rezolvarea unei ecuatii de tipul \log_{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}=b este echivalenta cu rezolvarea ecuatiei f\left(x\right)=g\left(x\right)^{b}, dar solutiile obtinute trebuie sa indeplineasca conditiile f\left(x\right)>0, g\left(x\right)>0, g\left(x\right)\neq 1

Exemplu
Sa se rezolve ecuatiile:
a )\log_{2}{x-1}=\log_{2}{x^{2}-x-16}
Cum avem aceiasi baza putem egala argumentul celor doi logaritmi:
x-1=x^{2}-x-16\Rightarrow x^{2}-x-16-x+1=0\Rightarrow x^{2}-2x-15=0
Astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea
\Delta =\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-15\right)=4+60=64

Astfel avem ca: x_{1}=\frac{-\left(-2\right)+\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5
Dar si x_{2}=\frac{-\left(-2\right)-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3
Acum sa vedem daca solutiile verifica ecuatia, astfel avem:
\log_{2}{5-1}=\log_{2}{5^{2}-5-16}\Rightarrow \log_{2}{4}=\log_{2}{25-5-16}\Rightarrow \log_{2}{4}=\log_{2}{4}

Deci pentru x_{1}=5 ecuatia se verifica, astfe 5 este o solitie a ecuatiei.
Iar pentru x_{2}=-3 obtinem:
\log_{2}{-3-1}=\log_{2}{-4}<0 si deci rezulta ca x_{2}=-3 nu este solutie a ecuatiei, ca sa fie solutie a ecuatiei trebuie sa indeplineasca conditiile de mai sus.

Altfel pentru a vedea daca o solutie este convenabila pentru ecuatie logaritmica,punem conditiile ca atant argumentul cat si baza sa fie mai mari ca 0, dar baza sa fie si diferita de 1, astfel in cazul nostu avem ca: x-1>0\Rightarrow x>1\Rightarrow x\in\left(1,+\infty\right)
Dar si x^{2}-x-16>0
Pentru rezolvarea inecuatiei de gradul al doilea atasam functia si studiem semnul functie:
f:R\rightarrow R,f\left(x\right)=x^{2}-x-16

Acum rezolvam ecuatia:
f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-x-16=0
Astfel avem ca \Delta=\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-16\right)=1+64=65
Deci solutiile ecutiei sunt x_{1}=\frac{\left(-1\right)+\sqrt{65}}{2\cdot 1}=\frac{1+\sqrt{65}}{2}
x_{2}=\frac{1-\sqrt{65}}{2}
Din tabelul de variatie al functie de gradul al doilea obtinem ca:
care sunt conditiile pentru rezolvarea ecuatiilor logaritmice
Deci solutia inecuatiei este:
x\in\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)

Acum daca facem intersecita celor doua intervale care le-am gasit obtinem ca
\left[\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)\right]\cap\left(1,+\infty\right)=\left(1,+\infty\right).
Deci x=5 este solutie a ecuatiei.

b) log_{x-1}{\left(x^{2}-5x+7\right)}=1
Astfel la ecuatia de mai sus punem mai intai conditiile:
x-1>0\Rightarrow x>1\Rightarrow x\in \left(1,+\infty\right), deci pentru baza conditia este indeplinita
Dar si x^{2}-5x+7>0
Astfel la fel ca si mai sus atasam functia:
f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-5x+7
Rezolvam ecuatia f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-5x+7=0
Astfel avem \Delta=\left(-5\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 7=25-28=-3
Deci \Delta<0, ecuatia nu are solutii, acum stabilim semnul functiei: rezolvarea inecuatiei de gradul al doilea
Asadar argumentul este pozitiv, solutia ecuatiei este R, adica multimea numerelor reale.
Sau, daca nu, verficam care din solutiile ecuatiei verifica ecuatia, astfel ecuatia devine:
x^{2}-5x+7=\left(x-1\right)^{1}\Rightarrow x^{2}-5x+7=x-1\Rightarrow x^{2}-5x+7-x+1=0\Rightarrow x^{2}-6x+8=0
Astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea:
\Delta=\left(-6\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 8=36-42=4 deci avem ca x_{1}=\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4

Dar si x_{2}=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2
Efectuam si poba, astfel pentru x=4\Rightarrow \log_{4-1}{\left(4^{2}-5\cdot 4+7\right)}=1\Rightarrow \log_{3}{\left(16-20+7\right)}=1\Rightarrow \log_{3}{3}=1
Deci se verifica pentru x=4

Iar pentru x=2\Rightarrow \log_{2-1}{\left(2^{2}-5\cdot 2+7\right)}=\log_{1}{\left(4-10+7\right)}=\log_{1}{1}
Astfel pentru x=2\in R, dar trebuie sa mai tinem cont si ca baza trebuie sa fie mai mare strict ca 0, dar si diferit de 1.
Astfel solutia ecuatiei este x=4.

Subiecte posibile Bacalaureat Matematica

Publicat în de MATEPEDIA

Subiectul I
1. Sa se rezolve ecuatia: \sqrt[3]{x^{3}+x+1}=x
2. Sa se calculeze \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}-\log_{5}25
3. Sa se rezolve inecuatia: C_{17}^{x}\leq C_{17}^{x-2}, x\in N, x\geq 2
4. Sa se calculeze probabilitatea ca alegand un numar natural de doua cifre acesta sa fie cub perfect.
5. Sa se calculeze \sin^{2} 120^{0}+\cos^{2} 60^{0}
6. Sa se determine suma primilor trei termeni ai unei progresii geometice, stiind ca suma primilor doi termeni ai progresi este egal cu 8, iar diferenta intre al doilea termen si primul termen este egala cu 4.
Solutie:
1. Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus, rezolvam egalitatea de mai sus la cub si obtinem:
x^{3}+x+1=x^{3}\Rightarrow x^{3}+x+1-x^{3}=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1
Deci solutia ecuatii de mai sus este x=-1
2. La exercitiu de mai sus folosim regulile de calcul cu puteri, dar si regulile de calcul cu radicali:
\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}-\log_{5} 25=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}-\log_{5}5^{2}= \frac{1}{1}\cdot \frac{2^{3}}{1^{3}}-2\cdot\log_{5}5=2^{3}-2\cdot 1=8-2=6

3. Ca sa rezolvam exercitiu de mai sus punem conditiile:
x\leq 17 dar si x-2\leq 17
Deci la prima inecuatie x\leq 17\Rightarrow x\in\left(-\infty, 17\right]
Iar pentru a doua ecuatie:
x-2\leq 17\Rightarrow x\leq 17+2\Rightarrow x\leq 19\Rightarrow x\in\left(-\infty,19\right]
Iar intersectia dintre cele doua inecuatii obtinem ca:

\left(-\infty, 17\right]\cap\left(-\infty, 19\right]=\left(-\infty, 17\right]
Acum rezolvam inecuatia:
C_{17}^{x}\leq C_{17}^{x-2}\Rightarrow \frac{17!}{\left(17-x\right)!\cdot x!}\leq\frac{17!}{\left(17-x+2\right)!\left(x-2\right)!}\Rightarrow
\frac{17!}{\left(17-x\right)\cdot x!}\leq\frac{17!}{\left(19-x\right)!\cdot\left(x-2\right)!}\Rightarrow
\frac{17!}{17!}\leq\frac{\left(17-x\right)!\cdot x!}{\left(x-19\right)!\cdot\left(x-2\right)!}\Rightarrow 1\leq\frac{\left(17-x\right)!\cdot x!}{\left(19-x\right)!\cdot\left(x-2\right)!}\Rightarrow
\frac{\left(x-2\right)!}{x!}\leq\frac{\left(17-x\right)!}{\left(19-x\right)!}\Rightarrow
\frac{\left(x-2\right)!}{\left(x-2\right)!\cdot\left(x-1\right)\cdot x}\leq\frac{\left(17-x\right)!}{\left(17-x\right)!\cdot \left(18-x\right)\cdot\left(19-x\right)}\Rightarrow
\frac{1}{\left(x-1\right)\cdot x}\leq\frac{1}{\left(18-x\right)\cdot\left(19-x\right)}\Rightarrow \left(18-x\right)\cdot\left(19-x\right)\leq\left(x-1\right)\cdot x\Rightarrow
18\cdot 19-18x-19x+x^{2}\leq x^{2}-x\Rightarrow 18\cdot 19-37x+x^{2}-x^{2}+x\leq 0\Rightarrow 18\cdot 19-36x\leq 0\Rightarrow -36x\leq-18\cdot 19\Rightarrow
36x\geq 18\cdot 19\Rightarrow x\geq\frac{18\cdot 19}{36}^{18}\Rightarrow
x\geq\frac{1\cdot 19}{2}\Rightarrow x\geq\frac{19}{2}\Rightarrow x\geq 9,5
Cum x\in N obtinem ca x\in\left[10, +\infty\right]
Iar intersectia intre cele doua intervale este
\left(-\infty,17\right]\cap\left[10,+\infty\right)=\left[10,17\right]=\left\{10,11,12,13,14,15,16,17\right\}
4. Numerele naturale de doua cifre sunt de la 10 la 99, adica fie A=\left\{10,11,...,99\right\}, deci numarul elementelor multimii A este de 90
Sau putem sa aflam si altfel
Stim ca numerele sunt in progresie aritmetica cu ratia r=1, deci stim ca termenul general este 99, deci noi trebuie sa aflam n=?
Stim ca a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 99=10+\left(n-1\right)\cdot 1\Rightarrow 99-10=n-1\Rightarrow 89=n-1\Rightarrow 89+1=n\Rightarrow n=90, deci numarul de elemente al multimi a este de 90 (numarul de cazuri posibile)
Acum sa aflam cate cuburi perfecte de doua cifre avem:
Astfel 27 64 (numar de cazuri favorabile)
Astfel probabilitatea este
P=\frac{numar\;\; cazuri\;\; favorabile}{numar \;\;cazuri\;\; posibile}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}
5. Stim ca \sin\left(180^{0}-60^{0}\right)=\sin 180^{0}\cdot\cos 60^{0}- \cos 180^{0}\cdot \sin 60^{0}=0\cdot \cos 60^{0}-\left(-1\right)\cdot\sin 60^{0}=0+1\cdot \sin 60^{0}=\sin 60^{0}
Deci
\sin^{2}120^{0}+\cos^{2}60^{0}=\sin^{2}60^{0}+\cos^{2}60^{0}=1
6. Stim ca suma primilor doi termeni este egala cu 8 astfel avem
a_{1}+a_{2}=8
Iar diferenta dintre al doilea si primul termen este egala cu 4, astfel avem ca
a_{2}-a_{1}=4
Dar stim ca termeni sunt i progresie geometrica astfel stim ca
a_{2}=a_{1}\cdot q
unde q este ratia progresiei geometrice, astfel avem ca
a_{1}+a_{2}=8\Rightarrow a_{1}+a_{1}\cdot q=8\Rightarrow a_{1}\cdot\left(1+q\right)=8\Rightarrow a_{1}=\frac{8}{1+q}(*)
dar si
a_{2}-a_{1}=4\Rightarrow a_{1}\cdot q-a_{1}=4\Rightarrow a_{1}\left(q-1\right)=4(**)
Acum din (*) si (**) obtinem ca:
a_{1}\left(q-1\right)=4\Rightarrow \frac{8}{q+1}\cdot\left(q-1\right)=4\Rightarrow \frac{q-1}{q+1}=\frac{4}{8}^{(4}\Rightarrow \frac{q-1}{q+1}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2\left(q-1\right)=q+1\Rightarrow 2q-2=q+1\Rightarrow 2q-q=1+2\Rightarrow q=3
Deci cum stim ratia putem sa aflam termeni
a_{1}+a_{2}=8\Rightarrow a_{1}+a_{1}\cdot q=8\Rightarrow a_{1}+a_{1}\cdot 3=8\Rightarrow 4a_{1}=8\Rightarrow a_{1}=8:4\Rightarrow a_{1}=2
Acum calculam
a_{2}=a_{1}\cdot q=2\cdot 3=6
Iar a_{3}=a_{2}\cdot 6=2\cdot 3=18
Iar suma primilor trei termeni este:
S=a_{1}+a_{2}+a_{3}=2+6+18=26