Sa aprofundam si alte subiecte rezolvate Evaluarea Nationala
Dupa ce am rezolvat subiectul I dintr-un test pentru Evaluarea Nationala, astazi o sa rezolvam subiectul II.
Incepem cu o problema de geometrie. Stiti doar ca la partea a III a aveti doar probleme de geometrie fie de clasa a VIII-a fie din clasele mai mici.
1. In figura alaturata este reprezentat un teren agricol in forma de trapez isoscel. Se stie ca \(AB=AD=2,5 km\)
a) Notand cu DH=x hm, exprimati lungimea segmentului H in functie de x.
In triunghiul AD aplicam teorema lui Pitagora astfel obtinem
\(
AD^{2}=AH^{2}+DH^{2}\)
Cum pe AD il cunoastem, transformam km in hm astfel obtinem AD=25 hm, DH=x
\(25^{2}=AH^{2}+x^{2}
\\625=AH^{2}+x^{2}
\\AH\\sqrt{625 -x^{2}} hm\)
Inaltimea AH este egala cu jumatate din media aritmetica a celor doua baze.
b) Aflti x
Solutie
Stim ca \(AH=\frac{1}{2}\frac{AB+DC}{2}=\frac{AB+DC}{4}=\frac{2,5 km+ DC}{4}\), dar de la punctul a) mai stim ca \(AH\sqrt{625 -x^{2}} hm\), si astfel transformam si media aritmetica in hectometri astfel \(\frac{2,5 km+ DC}{4}=\frac{25 hm+DC}{4}\) egalam cele doua rezultate si obtinem \( \frac{25 hm+ DC}{4}=\sqrt{625 -x^{2}}\), dar stim ca la punctul a) ca pe DH l-am notat cu x si astfel construim BE perpendicular pe DC gasim deci ca DH=CE deci egal cu x.
Deci obtinem
\(
\frac{25+x+25+x}{4}=\sqrt{625-x^{2}}
\\ \frac{2x+50}{4}=\sqrt{625-x^{2}}
\\ \frac{\left(2x+50\right)^{2}}{4^{2}}=625-x^{2}\)
\(
\\ \frac{4x^{2}+200x+50^{2}}{16}=625-x^{2}
\\ \frac{4x^{2}+200x+2500}{16}=625-x^{2}
\\ 4x^{2}+200x+2500=16\left(625-x^{2}\right)
\\ 4x^{2}+200x+2500=10000-16x^{2}\)
\(
\\20x^{2}+200x-7500=0 |:20
\\ x^{2}+10x-375=0
\\\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=100-4\cdot 1\cdot\left(- 375\right)
\\ \Delta =100+1500
\\ \Delta=1600
\\ x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-10+\sqrt{1600}}{2\cdot 1}=\frac{-10+40}{2}=\frac{30}{2}=15 km\).
Daca calculam \(x_{2}\) o sa obtinem un numar negativ si lungimea unui segment nu poate fi negativa.
Sau putem sa scriem ecuatia altfel pentru a ii gasii solutiile astfel,
\(
x^{2}+10x-375=0
\\x^{2}+10x-400+25=0
\\x^{2}+10x-25=400
\\\left(x+5\right)^{2}=400
\\x+5=\pm\sqrt{400}
\\x+5=20\Rightarrow x=15
\\x+5=-20\Rightarrow x=-25\;\;\;nu convine \).
Calculam \(AH=\sqrt{625-x^{2}}\Rightarrow AH=\sqrt{625-225}\Rightarrow AH=\sqrt{400}\Rightarrow AH=20 hm\)
Stiind ca x=15, calculati aria terenului ABCD, exprimand-o in hectare.
Stiind ca figura geometrica este trapez claculati aria trapezului \(A_{ABCD}=\frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(55+25\right)\cdot 20 }{2}=\frac{80\cdot 20}{2}=\frac{40\cdot 20 }{1}=800 hm^{2}
\)
Transformam \(hm^{2}\) in \(m^{2}\)
\(
800 hm^{2}=8000000 m^{2}
\\8000000 m^{2}=800 ha\)
Stim ca \( 1 ha =10000 m^{2}\).
Terenul este cultivat cu grau de catre trei fermieri. Lotul celui de-al doilea fermier este de doua ori mai mare decat cel al primului si cu 50 ha mai mic decat lotul celui de-al III-lea fermier.
d) Determinati suprafata detinuta de fiecare fermier
Notam
-suprafata primului fermier cu x
– suprafata celui de-al doilea fermier cu y
– suprafata celui de-al treilea fermier cu z
\(
y=2x
\\y=z-50\Rightarrow y+50=z\Rightarrow 2x+50=z
\\x+y+z=800 ha\)
\(
x+2x+2x+50=800 ha \Rightarrow 5x+50=800 ha \Rightarrow \)
\(
5x=750 \Rightarrow x=\frac{750}{5}\Rightarrow x=150 ha\)
\(
\\z=2\cdot 150+50\Rightarrow z=300+50\Rightarrow z=350 ha\)
\(
\\y=2x\Rightarrow y=2\cdot 150\Rightarrow y=300 ha\)
e) Ce cantitate de grau se obtine in total daca,
la fiecare hectar cultivat, primul fermier a obtinut 1900 kg,
cel de-al doilea 2,25 t, iar cel de-al treilea 2400 kg?
Pastrati notatile de la d), deci
-primul fermier a obtinit x=1900 kg pentru un hectar
– al doi-lea y=2,25 t pentru un hectar
– cel de-al treilea z=2400 kg pe hectar.
Transformam toate cantitatile in tone, deci
x=1,9 t
y=2,25 t
c=2,4 t
-primul a obtinut \(150\cdot 1,9=285 t\)
-al doilea a obtinut \(300\cdot 2,25=675 t\)
-al trei-lea fermier a obtinut \(z=350\cdot 2,4=840 t\)
f) Cate remorci in forma de paralelpiped dreptunghic cu dimensiunile de 2,5 m, 2m si 1 m
au fost necesare pentru transportul intregii cantitati de grau, stiind ca un metru cub de grau cantareste 800 de kilograme?
Solutie
Mai intai calculam volumul remorcii ,cum are forma e paralelpiped dreptunghic calculam
\(
V_{remorca}=l\cdot L\cdot h=2,5\cdot 2\cdot 1=5 m^{3}\)
Deci remorca poate sa transporte \(5\cdot 800=4000 kg=4 t \) de grau
Calculam intreaga cantitate de grau \(285t+675t+840t=1800 t\)
Deci sunt necesare \(1800:4= 450\) remorci.
