exercitii rezovate cu logaritmi

Prezentam anumite exercitii cu logaritmi, exercitii care apar la examenul de Bacalaureat.

Demonstrati ca $\log_{2}3\cdot\log_{3}5\cdot\log_{5}8=3$

Observam ca in cazul exercitiului de mai sus nu avem aceeasi baza, asadar incercam sa aducem la aceeasi baza.

Stim ca $\log_{a}A=\frac{\log_{b}A}{\log_{b}a}$
$\log_{3}[5]=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}$

Dar si $\log_{5}[8]=\frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}$

Rescriind exercitiul cu ce am gasit obtinem:
$\log_{2}3\cdot\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}\cdot\frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}$

Observam ca simplificam pe diagonala si obtinem $1\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{\log_{2}8}{1}=\log_{2}8=3$

In cazul exercitiului de mai sus, totul a constat in a aduce logaritmii la aceeasi baza.

2. Demonstrati ca $\log_{4}9=\log_{8}27$

Solutie:
Luam fiecare logaritm in parte si incercam sa-l rezolvam, astfel avem: $\log_{4}9=\log_{4}3^{2}=2\cdot\log_{4}3$

Am folosit regula $\log_{a}A^{n}=n\cdot\log_{a}A$ , unde $A>0 , a>0, a\neq 1$

Dar putem folosi si regula $\log_{a^{n}}A=\frac{1}{n}\log_{a}A$ .
Asadar obtinem $2\cdot\log_{4}3=2\cdot\log_{2^{2}}3=2\cdot\frac{1}{2}\log_{2}3=\log_{2}3$ .

Iar pentru $\log_{8}27=\log_{2^{3}}3^{3}=3\cdot\frac{1}{3}\cdot\log_{2}3=\log_{2}3$
Astfel obtinem ca $\log_{2}3=\log_{2}3\Rightarrow \log_{4}9=\log_{8}27$ .
3. Sa se demonstreze ca numarul $A=\left(\sqrt{11}\right)^{\log_{12}144}+\log_{2}32-\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$ este natural.

Solutie:
Calculam mai intai logaritmii, astfel obtinem:
$A=\left(\sqrt{11}\right)^{2}+5-\left(3^{-1}\right)^{-2}$

Observam ca pentru $\frac{1}{3}=3^{-1}$ , am folosit regula $\frac{1}{a}=a^{-1}$

Asadar $A=2+5-3^{(-1)\cdot(-2)}$
Adica $A=2+3+3^{2}$ , adica $A=5+9\Rightarrow A=14\in N$ .
Pentru cei care nu stiu sa calculeze logartimul dintr-un numar click aici.

Adica pentru $\log_{2}32$ , logaritmul numarului 2 este puterea la care trebuie ridicat 2, pentru a obtine 32, astfel avem ca $2^{5}=32$ , asadar rezultatul este 5.

4. Demonstrati ca $A=\log_{2}(5+\sqrt{7})+\log_{2}(5-\sqrt{7})-2\log_{2}3$ este intreg.

Solutie:

Folosind proprietatile logaritmilor obtinem:

$A=\log_{2}[(5+\sqrt{7})\cdot(5-\sqrt{7})]-2\log_{2}3$

Folosind formula de calcul prescurtat $(a-b)\cdot(a+b)=a^{2}-b^{2}$ , obtinem:

$A=\log_{2}[5^{2}-(\sqrt{7})^{2}]-2\log_{2}3$

Efectuand calculele obtinem $A=\log_{2}(25-7)-2\log_{2}3$

Adica $A=\log_{2}18-2\log_{2}3\Rightarrow A=\log_{2}3^{2}-2\log_{2}3\Rightarrow A=2\log_{2}3-2\log_{2}3\Rightarrow A=0\in Z$ .

5. Sa se arate ca $log_{2}432=4+3a$ , unde $a=log_{2}3$

Descompunad pe 432 obtinem $432=2^{4}\cdot 3^{3}$

Asadar avem ca $\log_{2}432=\log_{2}(2^{4}\cdot 3^{3})$ , folosind proprietatile radicalilor obtinem:

$\log_{2}(2^{4}\cdot 3^{3})=\log_{2}2^{4}+\log_{2}3^{3}=4\cdot\log_{2}2+3\cdot\log_{2}3=4\cdot 1+3\cdot a=4+3a$ ,unde stim ca $a=\log_{2}3$ .

6. Demonstrati ca $\log_{2\sqrt{2}}3\sqrt{3}=\log_{2}3$

Solutie

Luand membrul stang obtinem ca:

$\log_{2\sqrt{2}}3\sqrt{3}$

Si mai intai introducand factorii sub radicali obtinem: $2\sqrt{2}=\sqrt{2^{2}\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}}$ , dar si $3\sqrt{3}=\sqrt{27}=27^{\frac{1}{2}}$ . asadar obtinem:

$\log_{8^{\frac{1}{2}}}27^{\frac{1}{2}}$ , folosind proprietatile radicalilor obtinem: $\frac{1}{2}\cdot\log_{8^{\frac{1}{2}}}27=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}\log_{8}27=$