logaritmi

Prezentam anumite exercitii cu logaritmi, exercitii care apar la examenul de Bacalaureat.

Demonstrati ca $\log_{2}3\cdot\log_{3}5\cdot\log_{5}8=3$

Observam ca in cazul exercitiului de mai sus nu avem aceeasi baza, asadar incercam sa aducem la aceeasi baza.

Stim ca $\log_{a}A=\frac{\log_{b}A}{\log_{b}a}$
$\log_{3}[5]=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}$

Dar si $\log_{5}[8]=\frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}$

Rescriind exercitiul cu ce am gasit obtinem:
$\log_{2}3\cdot\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}\cdot\frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}$

Observam ca simplificam pe diagonala si obtinem $1\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{\log_{2}8}{1}=\log_{2}8=3$

In cazul exercitiului de mai sus, totul a constat in a aduce logaritmii la aceeasi baza.

2. Demonstrati ca $\log_{4}9=\log_{8}27$

Solutie:
Luam fiecare logaritm in parte si incercam sa-l rezolvam, astfel avem: $\log_{4}9=\log_{4}3^{2}=2\cdot\log_{4}3$

Am folosit regula $\log_{a}A^{n}=n\cdot\log_{a}A$ , unde $A>0 , a>0, a\neq 1$

Dar putem folosi si regula $\log_{a^{n}}A=\frac{1}{n}\log_{a}A$ .
Asadar obtinem $2\cdot\log_{4}3=2\cdot\log_{2^{2}}3=2\cdot\frac{1}{2}\log_{2}3=\log_{2}3$ .

Iar pentru $\log_{8}27=\log_{2^{3}}3^{3}=3\cdot\frac{1}{3}\cdot\log_{2}3=\log_{2}3$
Astfel obtinem ca $\log_{2}3=\log_{2}3\Rightarrow \log_{4}9=\log_{8}27$ .
3. Sa se demonstreze ca numarul $A=\left(\sqrt{11}\right)^{\log_{12}144}+\log_{2}32-\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$ este natural.

Solutie:
Calculam mai intai logaritmii, astfel obtinem:
$A=\left(\sqrt{11}\right)^{2}+5-\left(3^{-1}\right)^{-2}$

Observam ca pentru $\frac{1}{3}=3^{-1}$ , am folosit regula $\frac{1}{a}=a^{-1}$

Asadar $A=2+5-3^{(-1)\cdot(-2)}$
Adica $A=2+3+3^{2}$ , adica $A=5+9\Rightarrow A=14\in N$ .
Pentru cei care nu stiu sa calculeze logartimul dintr-un numar click aici.

Adica pentru $\log_{2}32$ , logaritmul numarului 2 este puterea la care trebuie ridicat 2, pentru a obtine 32, astfel avem ca $2^{5}=32$ , asadar rezultatul este 5.

4. Demonstrati ca $A=\log_{2}(5+\sqrt{7})+\log_{2}(5-\sqrt{7})-2\log_{2}3$ este intreg.

Solutie:

Folosind proprietatile logaritmilor obtinem:

$A=\log_{2}[(5+\sqrt{7})\cdot(5-\sqrt{7})]-2\log_{2}3$

Folosind formula de calcul prescurtat $(a-b)\cdot(a+b)=a^{2}-b^{2}$ , obtinem:

$A=\log_{2}[5^{2}-(\sqrt{7})^{2}]-2\log_{2}3$

Efectuand calculele obtinem $A=\log_{2}(25-7)-2\log_{2}3$

Adica $A=\log_{2}18-2\log_{2}3\Rightarrow A=\log_{2}3^{2}-2\log_{2}3\Rightarrow A=2\log_{2}3-2\log_{2}3\Rightarrow A=0\in Z$ .

5. Sa se arate ca $log_{2}432=4+3a$ , unde $a=log_{2}3$

Descompunad pe 432 obtinem $432=2^{4}\cdot 3^{3}$

Asadar avem ca $\log_{2}432=\log_{2}(2^{4}\cdot 3^{3})$ , folosind proprietatile radicalilor obtinem:

$\log_{2}(2^{4}\cdot 3^{3})=\log_{2}2^{4}+\log_{2}3^{3}=4\cdot\log_{2}2+3\cdot\log_{2}3=4\cdot 1+3\cdot a=4+3a$ ,unde stim ca $a=\log_{2}3$ .

6. Demonstrati ca $\log_{2\sqrt{2}}3\sqrt{3}=\log_{2}3$

Solutie

Luand membrul stang obtinem ca:

$\log_{2\sqrt{2}}3\sqrt{3}$

Si mai intai introducand factorii sub radicali obtinem: $2\sqrt{2}=\sqrt{2^{2}\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}}$ , dar si $3\sqrt{3}=\sqrt{27}=27^{\frac{1}{2}}$ . asadar obtinem:

$\log_{8^{\frac{1}{2}}}27^{\frac{1}{2}}$ , folosind proprietatile radicalilor obtinem: $\frac{1}{2}\cdot\log_{8^{\frac{1}{2}}}27=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}\log_{8}27=$

$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{1}\log_{2^{3}}3^{3}=\frac{2}{2}\log_{2^{3}}3^{3}=$

$1\cdot 3\log_{2^{3}}3=$

$\frac{3}{3}\log_{2}3=\log_{2}3$ , adica ceea ce trebuia sa demonstram.

Unora vi se pare foarte greu sa intelegeti acesti logaritmi, unora vi se par simpli. Important este sa invatam cum sa efectuam operatii cu logaritimi dar si cum sa rezolvam ecuatii cu logaritmi. Pentru inceput definim notiunea de logaritm.

Def: Fie a>0 un numar real pozitiv, $a\neq 1$ . Consideram ecuatia exponentiala $a^{x}=N, N>0$ ecuatia exponentiala are o solutie unic determinata, iar aceasta solutie se noteaza $x=\log_{a}{N}$ numit logaritmul numarului pozitiv N in baza a.

Din cele doua relatii obtinem $a^{\log_{a}{N}}=N$

adica algoritmul unui numar real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicata baza „a” pentru a obtine numarul dat

Exemplu:

a). Sa se calculeze $\log_{5}{125}$

Stim ca $125=5^{3}$ , iar din definitia logaritmului avem ca $\log_{5}{5^{3}}=3$ , trebuie sa ne obisnuim ca ce numar care are baza 5 la o anumita putere ne da 125.

b). Sa se calculeze $\log_{\frac{1}{3}}{27}$ . Astfel consideram ecuatia exponentiala $\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=27$

Adica ne gandim ca numarul $\frac{1}{3}$ la ce putere obtinem 27 si astfel am obtinut o ecuatie exponentiala.

Cu ajutorul inversului unei functii stim ca $\frac{1}{3}=3^{-1}$ si astfel am obtinut aceeasi baza a ecuatiei exponentiale $\left(3^{-1}\right)^{x}=3^{3}\Rightarrow 3^{-x}=3^{3}\Rightarrow -x=3\Rightarrow x=-3$ deci $\log_{\frac{1}{3}}{27}=-3$

Iar daca facem proba obtinem $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}=27$

Obs: Logaritmii in baza zece se mai numesc si logaritmi zecimali si se noteaza $\lg$ , adica daca avem $\log_{10}{100}$ , putem sa scriem $\lg 100=2$

Logaritmii naturali ai numarului a se noteaza $\ln a$ , iar baza acestui numar este numarul irational „e” $e\approx 2,71$

Ca sa putem sa efectuam operatii cu logaritmi trebuie sa stim proprietatile logaritmilor:

1). Daca A si B sunt doua numere pozitive, atunci:

$\log_{a}{\left(AB\right)}=\log_{a}{A}+\log_{a}{B}$

Adica logaritmul produsului a doua numere pozitive este egal cu suma logaritmilor celor doua numere.

2). Daca A si B sunt doua numere pozitive, atunci $\log_{a}{\frac{A}{B}}=\log_{a}{A}-\log_{a}{B}$

Adica logaritmul catului a doua numere este egal cu diferenta dintre logaritmul numaratorului si logaritmul numitorului.

3). Daca A este un numar pozitiv si ”m” un numar real arbitrar ales atunci:

$\log_{a}{A^{m}}=m\cdot\log_{a}{A}$

Adica logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponetul puterii si logaritmul numarului.

Exemplu:
Sa se calculeze:

a) $\log_{2}{5}+\log_{2}{\frac{4}{5}}=\log_{2}{5\cdot\frac{4}{5}}=\log_{2}{4}=2$

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit prima regula de mai sus, adica suma algoritmului a doua numere este egala cu produsul logaritmului celor doua numere (am folosit partea a doua a regulii ), iar apoi definitia logaritmului, adica 2 la ce putere obtinem 4.

b) $\log_{0,1}{5}+\log_{0,1}{4}-\log_{0,1}{2}=\log_{0,1}{5\cdot 4}-\log_{0,1}{2}=\log_{0,1}{20}-\log_{0,1}{2}=\log_{0,1}{\frac{20}{2}}=\log_{0,1}{10}=\log_{\frac{1}{10}}{10}=-1$

Adica $\left(\frac{1}{10}\right)^{x}=10\Rightarrow \left(10^{-1}\right)^{x}=10\Rightarrow 10^{-x}=10\Rightarrow -x=1\Rightarrow x=-1$

Sau putem sa mai scriem $\log_{10^{-1}}{10}=-1$

Adica trebuie sa ne gandim ce $10^{-1}=10$ si astfel obtinem $\left(10^{-1}\right)^{-1}=10$

Deci, important la logaritmi, este sa intelegem definitia acestora dar si proprietatile care ne ajuta sa rezolvam exercitiile care contin logaritmi.

Mate Pedia

Ne place matematica !

Aplicatii la logaritmi

Logaritmi Operatii cu logaritmi Ecuatii logaritmice

adica algoritmul unui numar real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicata baza „a” pentru a obtine numarul dat

Adica logaritmul catului a doua numere este egal cu diferenta dintre logaritmul numaratorului si logaritmul numitorului.

Adica logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponetul puterii si logaritmul numarului.