paralelogramul

Prezentam o problema care o rezolvam folosind cazurile de congruenta de la triunghiurile oarecare, problema cu ajutorul careia obtinem si o proprietate foarte importanta si anume:

Daca intr-un patrulater convex diagonalele se injumatatesc, atunci patrulaterul este paralelogram.

Ipoteza: ABCD-patrulater convex
[AC] intersectat [BD]={O}
[AO]=[OC]
[BO]=[OD]

Concluzie: ABCD-paralelogram

Consideram triunghiurile AOB si COD. Stim din ipoteza ca $[AO]\equiv [OC]$

Si $[BO]=[OD]$

Dar mai observam si ca $\widehat{AOB}\equiv\widehat{COD}$

( unghiuri opuse la varf)

Deci obtinem ca triunghiul $\Delta AOB\equiv\Delta COD$

(caz L.U.L)

De unde obtinem si ca $[AB]\equiv[CD]$

(1)

Dar mai avem si triunghiurile AOD si COB. La fel din ipoteza stim ca

$[AO]\equiv [OC]$

Si $[BO]=[OD]$

Dar mai stim si ca $\widehat{AOD}\equiv\widehat{COB}$

(ca unghiuri opuse la varf)

Deci la fel cu cazul de congruenta L.U.L obtinem ca

$\Delta AOD\equiv\Delta COB$

, adica obtinem ca AD=CB (2)

Din (1) si (2), obtinem ca patrulaterul convex ABCD este paralelogram, conform Teoremei referitoare la laturi pentru paralelogram.

2. In paralelogramul ABCD se duc DN⊥AC,MB⊥AC, unde M,N∈(AC). Demonstrati ca MBDN este paralelogram.

Stim ca MBND patrulater convex, dar mai stim si ca $DM\perp AC$ si $BN\perp AC$ si cu notiunile din clasa a VI a, stim ca DM||BN.

Dar mai avem si triunghiurile ADM si CBN, unde avem ca $[AD]\equiv[BC]$

Din ipoteza stim ca AB|| CD si AC secanta, astfel obtinem ca

$\widehat{BCN}\equiv\widehat{DAM}$

( ca unghiuri alterne interne)

Astfel cu cazul de congruenta I.U obtinem ca $\Delta ADM\equiv \Delta CBN$

, de unde obtinem si ca

$[DM]\equiv[BN]$

Iar cu reciproca a doua referitoare la laturi obtinem ca MBND paralelogram.

Astazi o sa vorbim despre paralelogram si o sa intelegem mai bine ce este paralelogramul

Def: Paralelogramul este patrulaterul convex care are laturile opuse paralele doua cate doua.

Proprietati care ne ajuta sa rezolvam problemele in care apare paralelogramul:
1) Teorema. Intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua cate doua.

2) Unghiurile opuse sunt congruete si oricare doua alaturate sunt suplementare (adica au masura de $180^{0}$ )

$\prec A\equiv \prec C \\\prec B\equiv \prec D \\m(\prec A)+m(\prec B)=180^{0}$ .
Problema
1) In patrulaterul convex ABCD masurile unghiurilor A, B, C, D sunt invers proportionale cu numerele: $0,(3); 0,2; \frac{1}{2}; 0,(1)$ .
a) Calculati masurile unghiurilor patrulaterului
b) Stiind ca $DE||BC, E\in (AB)$ , aratati ca BCDE este paralelogram.
Ip:
ABCD patrulater convex
A, B, C, D invers proportionale cu $0,(3); 0,2; \frac{1}{2}; 0,(1)$ .
Cl: $ \\m(\prec A)=? \\m(\prec B)=? \\m(\prec C)=? \\m(\prec D)=? \\ BCDE paralelogram$
Dem:

Stim de la proprietatea patrulaterului convex ca: suma masurii unghiurilor intr-un patrulater convex este de $360^{0}$ .
deci

$ \\m(\prec A)+m(\prec B)+m(\prec C)+m(\prec D)=360^{0}$

$\\ \frac{m(\prec A)}{\frac{1}{0,(3)}}=\frac{m(\prec B)}{\frac{1}{0,2}}=\frac{m(\prec C)}{\frac{1}{\frac{1}{7}}}=\frac{m(\prec D)}{\frac{1}{0, (1)}} \\ \frac{m(\prec A)}{\frac{1}{0,(3)}}=k \Rightarrow m(\prec A)=\frac{1}{0,(3)}k \Rightarrow m(\prec A)=\frac{1}{\frac{3}{9}}k=frac{9}{3}k\Rightarrow m(\prec A)=3k \\m(\prec B)= 5k \\m(\prec C)=7k \\m(\prec D)=9\cdot k \\3k+5k+7k+9k=360^{0} \\24k=360^{0} \\k=\frac{360}{24} \\k=15 \\m(\prec A)=3k=3\cdot 15=45^{0} \\m(\prec B)=5k=5\cdot 15= 75^{0} \\m(\prec C)=7k=7\cdot 15= 105^{0} \\m(\prec D)=9k= 9\cdot 15= 135^{0} $

Mate Pedia

Ne place matematica !

Probleme rezolvate cu patrulaterul convex

Paraleleogramul