Probleme rezolvate cu patrulaterul convex

Prezentam o problema care o rezolvam folosind cazurile de congruenta de la triunghiurile oarecare, problema cu ajutorul careia obtinem si o proprietate foarte importanta si anume:

Daca intr-un patrulater convex diagonalele se injumatatesc, atunci patrulaterul este paralelogram.

Ipoteza: ABCD-patrulater convex
[AC] intersectat [BD]={O}
[AO]=[OC]
[BO]=[OD]

Concluzie: ABCD-paralelogram

Consideram triunghiurile AOB si COD. Stim din ipoteza ca $[AO]\equiv [OC]$

Si $[BO]=[OD]$

Dar mai observam si ca $\widehat{AOB}\equiv\widehat{COD}$ ( unghiuri opuse la varf)

Deci obtinem ca triunghiul $\Delta AOB\equiv\Delta COD$ (caz L.U.L)

De unde obtinem si ca $[AB]\equiv[CD]$ (1)

Dar mai avem si triunghiurile AOD si COB. La fel din ipoteza stim ca

$[AO]\equiv [OC]$

Si $[BO]=[OD]$

Dar mai stim si ca $\widehat{AOD}\equiv\widehat{COB}$ (ca unghiuri opuse la varf)

Deci la fel cu cazul de congruenta L.U.L obtinem ca

$\Delta AOD\equiv\Delta COB$ , adica obtinem ca AD=CB (2)

Din (1) si (2), obtinem ca patrulaterul convex ABCD este paralelogram, conform Teoremei referitoare la laturi pentru paralelogram.

2. In paralelogramul ABCD se duc DN⊥AC,MB⊥AC, unde M,N∈(AC). Demonstrati ca MBDN este paralelogram.

cum aratam ca un patrulater convex este paralelogram

Stim ca MBND patrulater convex, dar mai stim si ca $DM\perp AC$ si $BN\perp AC$ si cu notiunile din clasa a VI a, stim ca DM||BN.

Dar mai avem si triunghiurile ADM si CBN, unde avem ca $[AD]\equiv[BC]$

Din ipoteza stim ca AB|| CD si AC secanta, astfel obtinem ca

$\widehat{BCN}\equiv\widehat{DAM}$ ( ca unghiuri alterne interne)

Astfel cu cazul de congruenta I.U obtinem ca $\Delta ADM\equiv \Delta CBN$ , de unde obtinem si ca

$[DM]\equiv[BN]$

Iar cu reciproca a doua referitoare la laturi obtinem ca MBND paralelogram.

Probleme rezolvate cu patrulaterul convex

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii