piramida triunghiulara regulata

Sa invatam despre Piramida triunghiulara regulata printr-o rezolvare !

2. Fie piramida triunghiulara regulata SABC cu h=4 cm si volumul = 36√3 . Aflati :

a) latura bazei si aria laterala a piramidei
b) tangenta unghiului format de muchia SA cu planul bazei
c) distanta de la punctul O la planul (SBC)

Demonstratie:

a) Stim ca intr-o piramida triunghiulara regulata volumul este :

$V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}\Rightarrow 36\sqrt{3}=\frac{A_{b}\cdot 4}{3}\Rightarrow A_{b}\cdot 4=36\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=\frac{36\sqrt{3}\cdot 3}{4}^{(4}\Rightarrow A_{b}=9\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=27\sqrt{3}\;\; cm$

Dar cum stim ca baza piramidei triunghiulare regulate este un triunghi echilateral obtinem $A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$

Astfel obtinem: $\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}\sqrt{3}=4\cdot 27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}=27\cdot 4\Rightarrow l=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\;\; cm$

Deci obtinem ca latura patratului este $l=6\sqrt{3}$
Stim ca $A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$
Stim ca $P_{b}=3\cdot l=3\cdot 6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$
Acum trebuie sa aflam si apotema piramidei, astfel stim ca $a_{p}^{2}=a_{b}^{2}+h^{2}$

Dar stim ca $a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}\sqrt{3}}{6}=3$

Deci cu informatile de mai sus avem ca: $a_{p}^{2}=3^{2}+4^{2}\Rightarrow a_{p}^{2}=9+16\Rightarrow a_{p}=\sqrt{25}\Rightarrow a_{p}=5$
Astfel obtinem ca $A_{l}=\frac{18\sqrt{3}\cdot 5}{2}=9\sqrt{3}\cdot 5=45\sqrt{3}\;\; cm^{2}$

b) $\tan\left(\widehat{SA,(ABC)}\right)$
Pentru a afla unghiul unei drepte cu un plan trebuie sa calculam
$pr_{(ABC)}SA$ adica proiectia dreptei SA pe planul ABC
Asftel aflam mai intai: $pr_{(ABC)}S=O$
Dar si $pr_{(ABC)}A=A$
Astfel obtinem: $pr_{(ABC)}SA=AO$
Si obtinem: $\tan\widehat{\left(SA,(ABC)\right)}=\tan\widehat{\left(SA, AO\right)}=\tan\widehat{SAO}$

Cu triunghiul SAO este dreptunghic aplicam:
$\tan\widehat{SAO}=\frac{cateta. opusa}{cateta. alaturata}=\frac{SO}{AO}=\frac{4}{6}^{(2}=\frac{2}{3}$
Unde $AO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{6\cdot 3}{3}=6$

Formulele pe care le-am enutat mai sus trebuie retiunte.

c) $d\left(O,(SBC)\right)$
Distanta de un punct la un plan este piciorul perpendicularei din punctul dat pe plan.
Observam ca $OM\perp BC$
Dar si $SM\perp BC$
Deci obtinem $BC\perp (SMO)$
Acum construim perpendiculara din O pe SM, adica, fie $OD\perp SM$ , unde $SM\subset (SBC)$

Si cu Reciproca celor Trei perpendiculare obtinem: $OD\perp (SBC)$
Observam ca triunghiul SOM este dretunghic, deci cu Teorema inaltimii obtinem:

$OD=\frac{OS\cdot OM}{SM}=\frac{4\cdot 3}{5}=\frac{12}{5}=2,4\;\; cm$

Dupa cee am vorbit de piramida astazi o sa vorbim despre prisma. Inca din clasele mai mici ati desenat paralelipipedul dreptunghic si cubul, doua corpuri geometrice care fac parte din prisma. Pentru Evaluarea Nationala trebuie sa stim foarte bine din cadrul prismei urmatoarele corpuri: prisma triunghiulara regulata, prisma patrulatera regulata, paralelipipedul dreptunghic si cubul.

O prisma se numeste regulata daca are baza poligon regulat.
Prisma triunghiular regulata ca si piramida are baza triunghi echilateral iar fetele laterale, dupa cum bine banuitim, dreptunghiuri.

Elementele prismei triunghiulare regulate:
– bazele: triunghiurile echilaterale $\Delta ABC$ si $\Delta A'B'C'$
– fetele laterale: dreptunghiurile ABB’A’, BCB’C’, ACC’A’
– muchiile bazei [AB], [AC], [BC]; [A’B’]; [A’C’]; [B’C’]
– muchiile laterale: [AA’]; [BB’]; [CC’]
– latura bazei notata cu l si inaltimea prismei triunghiulare regulate AA’

Paralelipipedul dreptunghic Are bazele dreptunghiuri, iar fetele laterale tot dreptunghiuri.

Elementele paralelipipedului: -varfuri: A, B,C D, A’, B’, C’, D’
-bazele sunt dreptunghiuri congruente: ABCD, A’B’C’D’
-fetele laterale sunt dreptunghiuri: AA’BB’, BB’CC’, CC’DD’, AA’DD’
– muchiile laterale sunt congruente: AA’, BB’, CC’, DD’
-diagonalele paralelipipedului: AC’, BD’, A’C, B’D.
Dimensiunile paralelipipedului:
-lungimea (L=AB)
-latimea (l=BC)
-inaltimea (h=AA’)

Cum aflam diagonalele paralelipipedului?

In primul rand daca luam diagonala BD’, observam ca BDD’ este triunghi dreptunghic, prima data aflam BD din triunghiul ABD dreptunghi in A, aplicand teorema lui Pitagora $BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow BD^{2}=l^{2}+L^{2}$ , iar apoi daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDD’, obtinem: $<br /> BD'^{2}=DD'^{2}+BD^{2}\Rightarrow BD'^{2}=h^{2}+l^{2}+L^{2}$ , deci diagonala notata cu d este $d=\sqrt{h^{2}+l^{2}+L^{2}}$ .
Cubul

Are bazele patrate, iar fetele laterale tot patrate.

Elementele patratului:
-varfuri: A, B,C D, A’, B’, C’, D’
-bazele sunt patrate congruente: ABCD, A’B’C’D’
-fetele laterale sunt patrate: AA’BB’, BB’CC’, CC’DD’, AA’DD’
-diagonalele cubului: AC’, BD’, A’C, B’D.
Dimensiunile cubului:
-lungimea (L=l=h=AB=BC=DD’)

Cum aflam diagonalele dintr-un cub?

In primul rand daca luam diagonala BD’, observam ca BDD’ este triunghi dreptunghic isoscel , prima data aflam BD din triunghiul ABD dreptunghi in A, aplicand teorema lui Pitagora $BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow BD^{2}=l^{2}+l^{2}\Rightarrow BD^{2}=2l^{2}$ , iar apoi daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDD’, obtinem: $<br /> BD'^{2}=DD'^{2}+BD^{2}\Rightarrow BD'^{2}=l^{2}+2l^{2}\Rightarrow BD'^{2}=3l^{2}\Rightarrow BD'=l\sqrt{3}$ , deci diagonala notata cu d este $d=l\sqrt{3}$ .

Deci foarte important sa stim cum sa calculam diagonalele in cub si in paralelipipedul dreptunghic

Mate Pedia

Ne place matematica !

piramida triunghiulara regulata

Piramida triunghiulara regulata

Prisma