Piramida triunghiulara regulata

Sa invatam despre Piramida triunghiulara regulata printr-o rezolvare !

2. Fie piramida triunghiulara regulata SABC cu h=4 cm si volumul = 36√3 . Aflati :

a) latura bazei si aria laterala a piramidei
b) tangenta unghiului format de muchia SA cu planul bazei
c) distanta de la punctul O la planul (SBC)

Demonstratie:

a) Stim ca intr-o piramida triunghiulara regulata volumul este :

$V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}\Rightarrow 36\sqrt{3}=\frac{A_{b}\cdot 4}{3}\Rightarrow A_{b}\cdot 4=36\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=\frac{36\sqrt{3}\cdot 3}{4}^{(4}\Rightarrow A_{b}=9\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=27\sqrt{3}\;\; cm$

Dar cum stim ca baza piramidei triunghiulare regulate este un triunghi echilateral obtinem $A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$

Astfel obtinem: $\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}\sqrt{3}=4\cdot 27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}=27\cdot 4\Rightarrow l=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\;\; cm$

Deci obtinem ca latura patratului este $l=6\sqrt{3}$
Stim ca $A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$
Stim ca $P_{b}=3\cdot l=3\cdot 6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$
Acum trebuie sa aflam si apotema piramidei, astfel stim ca $a_{p}^{2}=a_{b}^{2}+h^{2}$

Dar stim ca $a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}\sqrt{3}}{6}=3$

Deci cu informatile de mai sus avem ca: $a_{p}^{2}=3^{2}+4^{2}\Rightarrow a_{p}^{2}=9+16\Rightarrow a_{p}=\sqrt{25}\Rightarrow a_{p}=5$
Astfel obtinem ca $A_{l}=\frac{18\sqrt{3}\cdot 5}{2}=9\sqrt{3}\cdot 5=45\sqrt{3}\;\; cm^{2}$

b) $\tan\left(\widehat{SA,(ABC)}\right)$
Pentru a afla unghiul unei drepte cu un plan trebuie sa calculam
$pr_{(ABC)}SA$ adica proiectia dreptei SA pe planul ABC
Asftel aflam mai intai: $pr_{(ABC)}S=O$
Dar si $pr_{(ABC)}A=A$
Astfel obtinem: $pr_{(ABC)}SA=AO$
Si obtinem: $\tan\widehat{\left(SA,(ABC)\right)}=\tan\widehat{\left(SA, AO\right)}=\tan\widehat{SAO}$

Cu triunghiul SAO este dreptunghic aplicam:
$\tan\widehat{SAO}=\frac{cateta. opusa}{cateta. alaturata}=\frac{SO}{AO}=\frac{4}{6}^{(2}=\frac{2}{3}$
Unde $AO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{6\cdot 3}{3}=6$

Formulele pe care le-am enutat mai sus trebuie retiunte.

c) $d\left(O,(SBC)\right)$
Distanta de un punct la un plan este piciorul perpendicularei din punctul dat pe plan.
Observam ca $OM\perp BC$
Dar si $SM\perp BC$
Deci obtinem $BC\perp (SMO)$
Acum construim perpendiculara din O pe SM, adica, fie $OD\perp SM$ , unde $SM\subset (SBC)$