reguli de calcul cu radicali

Formule de calcul prescurtat

Astazi o sa invatam tehnici si procedee care ofera posibilitatea unui calcul mai rapid al expresiilor care contin radicali sau permit scrierea radicalilor dubli sub forma unor expresii care contin radicali simpli. Deci acum invatam urmatoarele formule de calcul prescurtat:

Formule de calcul prescurtat

1) $\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$

2) $\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$

3) $a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)$

4) $\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}$ , unde $C=\sqrt{A^{2}-B}$ .

Deci este foarte important sa intelegem cum sa aplicam formulele de calcul prescurtat.

Exemplu:

1) Calculati

a) $4\left(3\sqrt{3}-1\right)^{2}-5\left(\sqrt{3}-4\right)^{2}-\sqrt{768}= 4\left[\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot 3\sqrt{3}\cdot 1+1^{2}\right]-5\left[\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot \sqrt{3}\cdot 4+4^{2}\right]-16\sqrt{3}= 4\left(27-6\sqrt{3}+1\right)-5\left(3-8\sqrt{3}+16\right)-16\sqrt{3}= 4\left(28-6\sqrt{3}\right)-5\left(19-8\sqrt{3}\right)-16\sqrt{3}= 112-24\sqrt{3}-95+40\sqrt{3}-16\sqrt{3}= 17+\sqrt{3}\left(-24+40-16\right)=17+\sqrt{3}\cdot 0=17$

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am aplicat cea de-a doua formula, unde observati ca pentru primul patrat $a=3\sqrt{3}$ si $b=1$ , iar pentru cel de-al doilea patrat observam ca $a=\sqrt{3}$ si b=4, iar din numarul $\sqrt{768}$ am scos factori de sub radicali si am obtinut $\sqrt{768}=\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \sqrt{3}=16\sqrt{3}$

, apoi am efectuat calculele , adica am ridicat numerelor la patrat si am inmultit, apoi am adunat si am scazut si astfel am gasit rezultatul.

b) $\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)^{2} +\left(3\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$

$-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\cdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+2\sqrt{6}=$

$\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot 3\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left[\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right]+2\sqrt{6}= 3+4\sqrt{6}+8+27-6\sqrt{6}+2-3+2+2\sqrt{6}=39$

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit primele doua formule adica

$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$

$\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$

unde pentru prima paranteza $a=\sqrt{3}, b=2\sqrt{2}$ , dar trebuie sa avem grija tot timpul sa introducem si termenul din mijloc adica 2ab, pe cafre majoritatea dintre voi il uitati sau pierdeti, pentru patratul cel de-al doilea (paranteza a doua) $a=3\sqrt{3}, b=\sqrt{2}$ la fel si aici trebuie sa tinem cont si de termenul 2ab, dar observam ca la exercitul nostru mai avem si a treia formula de aplicat adica $\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\cdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$ , unde $a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2}$ , deci observati ca noi acum aplicam partea de inceput a formulei a treia, adica $\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}$ si obtinem $\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}$ iar restul este calcul, folosim regulile de calcul cu radicali.

c) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}=$

Calculam mai intai, adica putem sa aplicam formula 4) sau sa ne gandim cum putem sa scriem numarul de sub radical ca sa obtinem un patrat sub radical

$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{3-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^{2}}=3-\sqrt{2}$ ,

ca sa observam mai usor cu aceasta metoda trebuie sa ne uitam la termenul care formeaza suma celor doua patrate adica 11, dar si la produsul dintre 2 si ”ab”, deci impartim la 2 si obtinem $6\sqrt{2}=2\cdot 3\cdot\sqrt{2}$ si astfel am obtinut a=3 si $b=\sqrt{2}$ .

Sau cu formula de mai sus, dar mai intai trebuie sa obtinem ce avem sub radical sub forma $\sqrt{A-\sqrt{B}}$ , deci introducem la cel de-al doilea radical factorul sub radical, adica $\sqrt{11-\sqrt{36\cdot 2}}=\sqrt{11-\sqrt{72}}$ , dupa ce am adus la formam care ne trebuia

calculam $C=\sqrt{A^{2}-B}=\sqrt{11^{2}-72}=\sqrt{121-72}=\sqrt{49}=7$ , acum aplicam formula propriu zisa

$\sqrt{11-\sqrt{72}}=\sqrt{\frac{11+7}{2}}-\sqrt{\frac{11-7}{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}-\sqrt{\frac{4}{2}}=\sqrt{9}-\sqrt{2}=3-\sqrt{2}$

Calculam acum cel de-al doilea radical

$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{4+3-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}=2-\sqrt{3}$

$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{5-2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

am inversat radical din 2 cu radical din 3 pentru ca radical din 3 mai mare decat radical din 2, noi obtinem sub radical modul din acel numar si din acest motiv trebuie sa avem grija cum scriem numarul.

Pentru ceilalti doi radicali aplicati voi formula de mai sus, mie mi se pare mai usor sa folosesc formulele de calcul prescurtat.

Acum scriem ce am gasit

$3-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=5-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}= 5-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=5$

Observati ca mai sus am si rationalizat, iar apoi am folosit regulile de calcul cu radicali.

Dupa ce am invatat cum sa extragem radicali, adica algoritmul de extragere a radicalilor si am aflat si radacina patrata a unui numar natural , astazi o sa invatam reguli de calcul cu radicali astfel:

Produsul radicalilor

Daca $a\geq 0$ si $b\geq 0$ , atunci $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ .

Consecinta $\left(\sqrt{a}\right)^{n}=\sqrt{a^{n}}, n\in N$ .

Stim deja ca $\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a$ pentru $a\in R$ .

Foarte importat sa stiti ca $\sqrt{a^{2}+b^{2}}\neq \sqrt{a^{2}}+\sqrt{^{2}}$ , deoarece majoritatea dintre voi faceti aceasta greseala.

Catul radicalilor

Oricare ar fi $a\geq 0, b>0$ , $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ .

Scoaterea factorilor de sub radical

Daca $n\geq 0, n=a^{2}b$ , atunci $\sqrt{n}=\sqrt{a^{2}\cdot b}=|a|\sqrt{b}$ , daca a>0 si $-a\sqrt{b}$ daca a<0

Stiati inca de la radacina patrata a unui numar natural ca $\sqrt{a^{2}}=|a|$ si cu produsul radicalilor am obtinut scoaterea factorilor de sub radical. Mai pe intelesul vostru scoatem de sub radical doar numerele, cifrele care au puterea a doua.

Exp:

$\sqrt{648}$

Dupa ce am descompus numarul in produs de numere prime, o sa scriem radicalul astfel

$\sqrt{648}=\sqrt{2\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3^{2}}=2\cdot 3\cdot 3\sqrt{2}=18\sqrt{2}$

Introducerea factorilor sub radical

Daca $b\geq 0$ , atunci $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$ daca a>0 si

$-a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b}$ daca a<0

Exemplu:

$2\sqrt{2}=\sqrt{2^{2}\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}\\ -5\sqrt{3}=-\sqrt{5^{2}\cdot 3}=-\sqrt{25\cdot 3}=-\sqrt{75}$

Dupa cum bine observati introducerea factorilor sub radical este opusul scoaterea factorilor de sub radical, putem sa ne verificam daca am scos factori bine de sub radicali prin introducerea lor sub radicali astfel incat sa obtinem acelasi rezultat.

Exercitiu:

Comparati numerele:

a) $a=7\sqrt{15}$ si $b=15\sqrt{7}$

Ca sa comparam cele doua numere mai usor introducem factorii sub radicali astfel obtinem:

$a=\sqrt{7^{2}\cdot 15}=\sqrt{49\cdot 15}=\sqrt{735}$

$b=\sqrt{15^{2}\cdot 7}=\sqrt{225\cdot 7}=\sqrt{1575}$

Observam ca 753<1575, deci si $\sqrt{735}<\sqrt{1575}$

b) a=19 si $b=6\sqrt{10}$

Ca sa comparam aceste doua numere observam ca numarul a este natural, iar numarul b este numar irational si astfel scriem numarul 19 astfel :

$a= 19=\sqrt{19^{2}}=\sqrt{361}$

$b=\sqrt{6^{2}\cdot 10}=\sqrt{36\cdot 10}=\sqrt{360}$

La numarul b am introdus intregii in fractii asa cum am invatat si astfel obtinem radical din 360 si radical din 361.

Deci a>b.

2) Calculati

a) $\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^{2}}=|2-\sqrt{5}|+|3-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$

Ca sa rezolvam acest exercitiu am folosit faptul ca $\sqrt{a^{2}}=|a|$ , iar dupa cum stiti $|a|=a$ daca a>0 si -a daca a<0, in cazul nostu $\sqrt{2-\sqrt{5}}=\sqrt{2-2,23}$ deci mai mic ca 0 si astfel ca sa calculam , comutam termenii si obtinem $\sqrt{5}-2$ , la cel de-al doilea radical avem $\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{3-2, 23}$ mai mare ca zero, deci nu mai inversam termenii . Apoi termenii asemenea s-au redus iar -2+3=1 ceea ce am obtinut.