Ne place matematica !

Formule de calcul prescurtat

Formule de calcul prescurtat

Astazi o sa invatam tehnici si procedee care ofera posibilitatea unui calcul mai rapid al expresiilor care contin radicali  sau permit scrierea radicalilor dubli sub forma unor expresii care contin radicali simpli.  Deci acum invatam urmatoarele formule de calcul prescurtat:

Formule de calcul prescurtat

1) \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}

2) \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}

3) a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)

4) \sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}, unde C=\sqrt{A^{2}-B}.

Deci este  foarte important sa intelegem cum sa aplicam formulele de calcul prescurtat.

Exemplu:

1) Calculati

a) 4\left(3\sqrt{3}-1\right)^{2}-5\left(\sqrt{3}-4\right)^{2}-\sqrt{768}=    4\left[\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot 3\sqrt{3}\cdot 1+1^{2}\right]-5\left[\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot \sqrt{3}\cdot 4+4^{2}\right]-16\sqrt{3}=    4\left(27-6\sqrt{3}+1\right)-5\left(3-8\sqrt{3}+16\right)-16\sqrt{3}=    4\left(28-6\sqrt{3}\right)-5\left(19-8\sqrt{3}\right)-16\sqrt{3}=    112-24\sqrt{3}-95+40\sqrt{3}-16\sqrt{3}=    17+\sqrt{3}\left(-24+40-16\right)=17+\sqrt{3}\cdot 0=17

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  am aplicat cea de-a doua formula, unde observati ca pentru primul patrat a=3\sqrt{3} si b=1, iar pentru cel de-al doilea patrat observam ca a=\sqrt{3} si b=4, iar din numarul $\sqrt{768}$ am scos factori de sub radicali si am obtinut \sqrt{768}=\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \sqrt{3}=16\sqrt{3}

cum scoatem factori de sub radicali

 

, apoi am efectuat calculele , adica am ridicat numerelor la patrat si am inmultit, apoi am adunat si am scazut si astfel am gasit rezultatul.

b) \left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)^{2} +\left(3\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}

-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\cdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+2\sqrt{6}=

\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot 3\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left[\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right]+2\sqrt{6}=    3+4\sqrt{6}+8+27-6\sqrt{6}+2-3+2+2\sqrt{6}=39

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit primele  doua formule adica

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}

unde pentru prima paranteza a=\sqrt{3}, b=2\sqrt{2}, dar trebuie sa avem grija tot timpul sa introducem si termenul din mijloc adica 2ab, pe cafre majoritatea dintre voi il uitati sau pierdeti, pentru patratul cel de-al doilea (paranteza a doua) a=3\sqrt{3}, b=\sqrt{2} la fel si aici trebuie sa tinem cont si de termenul 2ab, dar observam ca la exercitul nostru mai avem si a treia formula de aplicat adica \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\cdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right), unde a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2}, deci observati ca noi acum aplicam partea de inceput a formulei a treia, adica \left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} si obtinem \left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2} iar restul este calcul, folosim regulile de calcul cu radicali.

c) \sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}=

Calculam mai intai, adica putem sa aplicam formula 4) sau sa ne gandim cum putem sa scriem numarul de sub radical ca sa obtinem un patrat sub radical

\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{3-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^{2}}=3-\sqrt{2},

ca sa observam mai usor cu aceasta metoda trebuie sa ne uitam la termenul care formeaza suma celor doua patrate adica 11, dar si la produsul dintre 2 si ”ab”, deci impartim la 2 si obtinem 6\sqrt{2}=2\cdot 3\cdot\sqrt{2} si astfel am obtinut a=3 si b=\sqrt{2}.

Sau cu formula de mai sus, dar mai intai trebuie sa obtinem ce avem sub radical sub forma \sqrt{A-\sqrt{B}}, deci introducem la cel de-al doilea radical factorul sub radical, adica \sqrt{11-\sqrt{36\cdot 2}}=\sqrt{11-\sqrt{72}}, dupa ce am adus la formam care ne trebuia

calculamC=\sqrt{A^{2}-B}=\sqrt{11^{2}-72}=\sqrt{121-72}=\sqrt{49}=7, acum aplicam formula propriu zisa

\sqrt{11-\sqrt{72}}=\sqrt{\frac{11+7}{2}}-\sqrt{\frac{11-7}{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}-\sqrt{\frac{4}{2}}=\sqrt{9}-\sqrt{2}=3-\sqrt{2}

Calculam acum cel de-al doilea radical

\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{4+3-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}=2-\sqrt{3}

\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{5-2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}

am inversat radical din 2 cu radical din 3 pentru ca radical din 3 mai mare decat radical din 2, noi obtinem sub radical modul din acel numar si din acest motiv trebuie sa avem grija cum scriem numarul.

Pentru ceilalti doi radicali aplicati voi formula de mai sus, mie mi se pare mai usor sa folosesc formulele de calcul prescurtat.

Acum scriem ce am gasit

3-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=5-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=    5-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=5

Observati ca mai sus am si rationalizat, iar apoi am folosit regulile de calcul cu radicali.