Teza clasa a VIII model Semestrul I

Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume:

Subiectul I

1. Rezultatul calculului $\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}$ este……

2. Daca multimea $A=\left\{x\in N^{*}||\frac{2x-1}{3}|< 5\right\}$ , atunci cel mai mare numar natural din multimea A este…..

3. Media geometrica a numerelor $a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3}$ si $b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2}$ este egala cu ….

4. Scris sub forma de fractie ordinara ireductibila, numarul $0,08(3)$ este egal cu …

5. Rezultatul calculului $3\sqrt{48}-4\sqrt{12}$ este egal cu ….

6. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de lungime egala cu 8 cm.

a) Determinati masura unghiului dintre dreptele AC si A’D’, $m\left(\widehat{B'C, DC'}\right)$ , precum si $m\left(\widehat{AB',\left(ABC\right)}\right)$ , $\sin\left(\widehat{BD',\left(ABC\right)}\right)$

b) Distanta de la punctul A’ la dreapta BC’

c) Lungimea diagonalei cubului

Subiectul II

1.a) Calculati $\frac{20}{\sqrt{12}-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-|\sqrt{2}-2|$

b) Aratati ca numarul $x=\left(\frac{2}{\sqrt{20}+3\sqrt{2}}\right)-|3\sqrt{2}-2\sqrt{5}|+\sqrt{\left(-4\right)^{2}}$ este este patrat perfect.

2. Fie $E\left(x\right)=\left(x-1-\frac{x^{2}-1}{x+2}\right):\frac{x-1}{x+2}$

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita

b) Aduceti expresia la forma cea mai simpla

c) Determinati valorile intregi a, pentru care $\frac{6}{x+1}\cdot E(a)$ este numar intreg

3. Consideram tetraedrul ABCD de varf A, cu lungimea lui AB=8 cm

a) Calculati lungimea proiectiei segmentului AB pe planul (BCD)

b) Calculati distanta de la A la CD

c) Calculati distanta de la A la planul (BCD)

d) Determinati sinusul unghiului dintre dreapta AB si planul (BCD)

Solutie:

1. Ca sa aflam rezultatul calculului folosim formulele de calcul prescurtat ar si scoaterea factorilor e sub radicali:

$\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}=\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^{2}+2\cdot 2\sqrt{2}=8-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}=9$

Deci rezultatul calculului este 9.

2. Ca sa aflam cel mai mare element al multimii, mai intai aflam carui interval apartine elementul x

$|\frac{2x-1}{3}|<5\Rightarrow -5<\frac{2x-1}{3}<5|\cdot 3\Rightarrow -15\cdot 3<2x-1<15|+1\Rightarrow -15+1<2x-1+1<15+1\Rightarrow -14<2x<16|:2\Rightarrow -7<x<8$

Ca sa rezolvam moului de mai sus am tinut cont de regula

$|x|<a\Rightarrow -a<x<a$

Iar la inegalitatea gasita, am inmultit cu 3 pentru a obtine o inegalitate cu numitorul 1, apoi am adunat cifra 1 pentru toata inegalitatea si nu in ultimul rand am impartit printr-un 2 si astfel am obtinut intervalul $x\in \left(-7, 8\right)$ , adica multimea, dar frara elementul 0, deoarece

$x\in N^{*}$

$A=\left\{1,2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}$

Deci cel mai mare element al multimii este 7.

3. Ca sa calculam media geometrica a numerelor mai intai calculam numerele:

$a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}+3-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1+3-\sqrt{3}=2$

Acum calculam b

$b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2}=\frac{2}{2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^{2}}+4+2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+2=\frac{2}{2+2\sqrt{2}+1}+6+4\sqrt{2}=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{2\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}+6+4\sqrt{2}=6-4\sqrt{2}+6+4\sqrt{2}=6+6=12$

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus am folosit formulele de calcul prescurtat $\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$ , dar si rationalizarea numitorilor de forma $\sqrt{a}+b$ .

Iar media geometrica a numarelor este:

$M_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{2\cdot 12}=\sqrt{2\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{6}$

Observati ca am scos factorii de sub radicali.

4. Cum transformam fractia zecimala in fractie ordinara $0,08(3)=\frac{83-8}{900}=\frac{75}{900}^{(15}=\frac{75:15}{900:15}=\frac{5}{60}^{(5}=\frac{5:5}{60:5}=\frac{1}{12}$