Calculul unor distante si a unor masuri de unghiuri in corpurile studiate

Publicat în noiembrie 30, 2017 de MATEPEDIA

Dupa cum bine stiti am mai calculat distanta dintre un punct si o dreapta, distanta dintre un punct si un plan, distanta de dintre doua plane, distanta dintre o dreapta si un plan, dar am calculat si masuri de unghiuri, adica masura dintre doua drepte, masura dintre o dreapta si un plan, dar si masura dintre doua plane, cat si unghiul diedru. Pe site gasiti informatii despre toate acestea.

Astfel prezentam probleme rezolvate in care o sa folosim notiunile prezentate mai sus, astfel:

1. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ are $AA'=3\sqrt{5}, AB=6 cm$ si BC=3 cm. Fie O mijlocul lui [BD], iar M mijlocul segmentului [AB].

a) Demonstrati $OM\perp A'B$
b) Calculati $m\left(\widehat{D'B,(ABC)}\right)$

Demostratie:

Stim ca M este mijlocul segmentului AB, astfel $AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3 cm$
In triughiul ABD aplican Teorema lui Pitagora obtinem:
$BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}\Rightarrow BD^{2}=6^{2}+3^{2}\Rightarrow BD=\sqrt{36+9}\Rightarrow BD=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Astfel: $BO=DO=\frac{BD}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$

Stim ca O este mijlocul lui BD si M mijlocul lui AM, astfel OM este linie mijlocie in triunghiul ADB, astfel avem ca $MO=\frac{AD}{2}=\frac{3}{2}$

Astfel avem ca : $MO^{2}+BM^{2}=BO^{2}$

Adica $\frac{9}{4}+9=\frac{45}{4}$ , adica cu reciproca lui Pitagora Triunghiul BOM este dreptunghic in M, adica $OM\perp AB$ , dar $OM\perp AA'$ astfel obtinem ca $OM\perp\left(AA'B\right)$

Observam ca $A'B\subset\left(AA'B\right)$ si obtinem ca $OM\perp A'B$ (daca o dreapt este perpendiculara pe un plan atunci ea este perpendiculara pe orice drepata din acel plan).

b) Ca sa calculam masura unghiului dintre o dreapta si un plan, calculam mai intai proiectia dreptei pe plan astfel avem ca $pr_{(ABC)}D'B$

Ca sa fi mai usor de aflat proiectia dreptei pe plan calculam mai intai: $pr_{(ABC)}D'=D$
Dar si $pr_{(ABC)}B=B$

Si astfel am aflat ca $pr_{(ABC)}D'B=DB$

Astfel avem unghiul: $m\left(\widehat{D'B,DB}\right)=m\left(\widehat{D'BD}\right)$

Ca sa aflam acum masura unghiului observam ca triunghiul D’BD este dreptunghic in D, astfel aplicand functiile trigonometrice obtinem ca: $\tan\left(\widehat{D'BD}\right)=\frac{c.o}{c.a}=\frac{DD'}{DB}=\frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=1$

Astfel obtinem ca masura unghiului este de $45^{0}$

2. Piramida ABCD are toate muchiile congrunete si inaltimea $AO=4\sqrt{3} cm$ . Punctele M si N sunt mijloacele muchiilor AB si CD.
a) Calculati lungimea muchiei piramidei
b) Aratati ca $MN\perp AB$
c) Calculati sinusul unghiului dintre dreapta MN si planul (BCD)
Problema data la Testarea Nationala din 2006.
Demonstratie:
Stim ca daca piramida are toate muchiile congruente, practic avem un tetraedru regulat, cel care nu va mai reamintiti click aici .

Observam ca stim doar inaltimea AO, stim ca triunghiul ABC este echilateral, la fel si triunghiul BCD, astfel stim ca $BO=\frac{l\sqrt{3}}{3}$ , astfel aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul AOB obtinem:
$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow l^{2}=\left(4\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\frac{l\sqrt{3}}{3}\right)^{2}\Rightarrow l^{2}=16\cdot 3+\frac{l^{2}\cdot 3}{9}^{(3}\Rightarrow l^{2}=48+\frac{l^{2}}{3}$

Astfel separand termenii asemenea obtinem $l^{2}-\frac{l^{2}}{3}=48$ , Astfel aducand la acelasi numitor obtinem: $\frac{3l^{2}-l^{2}}{3}=\frac{48\cdot 3}{3}\Rightarrow 2l^{2}=144\Rightarrow l^{2}=144:2\Rightarrow l^{2}=72\Rightarrow l=\sqrt{72}\Rightarrow l=6\sqrt{2}cm$ , de unde obtinem $AB=6\sqrt{2}cm$ .

b) Pentru a arata ca $MN\perp AB$ , folosim toate informatiile din ipoteza problemei, astfel stim ca M mijlocul AB si N mijlocul lui CD, astfel observam ca BM este mediana in triunghiul echilateral BCD si AN mediana in triunghiul echilateral ACD, de unde obtinem ca BN si AN sunt si inaltimi, conform proprietatilor triunghiului echilateral, observam ca $BN=AN=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{6}}{2}^{(2}=3\sqrt{6}$ ., de unde obtinem ca triunghiul ANB este isoscel, cum M mijlocul lui AB, obtinem ca MN este si inaltime in triunghiul ABN, astfel obtinem ca $MN\perp AB$ .

c) $\sin\left(\widehat{MN,(BCD)}\right)$
Pentru a afla sinusul unghiului calculam mai intai calculam $pr_{(BCD)}MN$ , astfel avem
$pr_{(BCD)}M=P$ , construim $MP\perp BN, P\in BN$ , observam ca $pr_{(BCD)}AB=BO, M\in AB$ $pr_{(BCD)}N=N$ , deoarece $N\in (BCD)$ Asadar obtinem $pr_{(BCD)}MN=NP$
Astfel obtinem $\sin\left(\widehat{MN,(BCD)}\right)=\sin\left(\widehat{MN, NP}\right)=\sin\left(\widehat{MNP}\right)$

Ca sa aflam sinusul unghiului trebuie sa avem triunghi dreptunghi astfel stim ca $MP\perp BN$ , astfel MPN dreptunghic in P, stim ca M mijlocul lui AB, dar si $MP\perp BN$ si $AO\perp BN$ , astfel obtinem ca MN||AO si astfel obtinem ca MP este linie mijlocie in triunghiul ABO si astfel obtinem $MP=\frac{AO}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}cm$ stim si ca P mijlocul lui BO si astfel obtinem ca $PO=\frac{BO}{2}$

Stim ca $BO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{6}$ .

Si astfel obtinem ca $PO=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$ .

Dar si $NO=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{6}=\sqrt{6}$
si obtinem ca $NP=NO+OP=\sqrt{6}+\sqrt{6}=2\sqrt{6}$ .
Aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MPO obtinem $MN^{2}=MP^{2}+PN^{2}\Rightarrow MN^{2}=\left(2\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2\sqrt{6}\right)^{2}\Rightarrow MN^{2}=4\cdot 3+4\cdot 6\Rightarrow MN^{2}=12+24\Rightarrow MN=\sqrt{36}=6 cm$

Astfel obtinem ca $\sin\left(\widehat{MNP}\right)=$
$\frac{MP}{MN}=\frac{2\sqrt{3}}{6}^{(2}=$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Piramida triunghiulara regulata

Publicat în martie 28, 2015martie 28, 2015 de MATEPEDIA

Sa invatam despre Piramida triunghiulara regulata printr-o rezolvare !

2. Fie piramida triunghiulara regulata SABC cu h=4 cm si volumul = 36√3 . Aflati :

a) latura bazei si aria laterala a piramidei
b) tangenta unghiului format de muchia SA cu planul bazei
c) distanta de la punctul O la planul (SBC)

Demonstratie:

a) Stim ca intr-o piramida triunghiulara regulata volumul este :

$V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}\Rightarrow 36\sqrt{3}=\frac{A_{b}\cdot 4}{3}\Rightarrow A_{b}\cdot 4=36\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=\frac{36\sqrt{3}\cdot 3}{4}^{(4}\Rightarrow A_{b}=9\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=27\sqrt{3}\;\; cm$

Dar cum stim ca baza piramidei triunghiulare regulate este un triunghi echilateral obtinem $A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$

Astfel obtinem: $\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}\sqrt{3}=4\cdot 27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}=27\cdot 4\Rightarrow l=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\;\; cm$

Deci obtinem ca latura patratului este $l=6\sqrt{3}$
Stim ca $A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$
Stim ca $P_{b}=3\cdot l=3\cdot 6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$
Acum trebuie sa aflam si apotema piramidei, astfel stim ca $a_{p}^{2}=a_{b}^{2}+h^{2}$

Dar stim ca $a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}\sqrt{3}}{6}=3$

Deci cu informatile de mai sus avem ca: $a_{p}^{2}=3^{2}+4^{2}\Rightarrow a_{p}^{2}=9+16\Rightarrow a_{p}=\sqrt{25}\Rightarrow a_{p}=5$
Astfel obtinem ca $A_{l}=\frac{18\sqrt{3}\cdot 5}{2}=9\sqrt{3}\cdot 5=45\sqrt{3}\;\; cm^{2}$

b) $\tan\left(\widehat{SA,(ABC)}\right)$
Pentru a afla unghiul unei drepte cu un plan trebuie sa calculam
$pr_{(ABC)}SA$ adica proiectia dreptei SA pe planul ABC
Asftel aflam mai intai: $pr_{(ABC)}S=O$
Dar si $pr_{(ABC)}A=A$
Astfel obtinem: $pr_{(ABC)}SA=AO$
Si obtinem: $\tan\widehat{\left(SA,(ABC)\right)}=\tan\widehat{\left(SA, AO\right)}=\tan\widehat{SAO}$

Cu triunghiul SAO este dreptunghic aplicam:
$\tan\widehat{SAO}=\frac{cateta. opusa}{cateta. alaturata}=\frac{SO}{AO}=\frac{4}{6}^{(2}=\frac{2}{3}$
Unde $AO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{6\cdot 3}{3}=6$

Formulele pe care le-am enutat mai sus trebuie retiunte.

c) $d\left(O,(SBC)\right)$
Distanta de un punct la un plan este piciorul perpendicularei din punctul dat pe plan.
Observam ca $OM\perp BC$
Dar si $SM\perp BC$
Deci obtinem $BC\perp (SMO)$
Acum construim perpendiculara din O pe SM, adica, fie $OD\perp SM$ , unde $SM\subset (SBC)$

Si cu Reciproca celor Trei perpendiculare obtinem: $OD\perp (SBC)$
Observam ca triunghiul SOM este dretunghic, deci cu Teorema inaltimii obtinem:

$OD=\frac{OS\cdot OM}{SM}=\frac{4\cdot 3}{5}=\frac{12}{5}=2,4\;\; cm$

Teza clasa a VIII model Semestrul I

Publicat în decembrie 8, 2014decembrie 9, 2014 de MATEPEDIA

Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume:

Subiectul I

1. Rezultatul calculului $\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}$ este……

2. Daca multimea $A=\left\{x\in N^{*}||\frac{2x-1}{3}|< 5\right\}$ , atunci cel mai mare numar natural din multimea A este…..

3. Media geometrica a numerelor $a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3}$ si $b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2}$ este egala cu ….

4. Scris sub forma de fractie ordinara ireductibila, numarul $0,08(3)$ este egal cu …

5. Rezultatul calculului $3\sqrt{48}-4\sqrt{12}$ este egal cu ….

6. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de lungime egala cu 8 cm.

a) Determinati masura unghiului dintre dreptele AC si A’D’, $m\left(\widehat{B'C, DC'}\right)$ , precum si $m\left(\widehat{AB',\left(ABC\right)}\right)$ , $\sin\left(\widehat{BD',\left(ABC\right)}\right)$

b) Distanta de la punctul A’ la dreapta BC’

c) Lungimea diagonalei cubului

Subiectul II

1.a) Calculati $\frac{20}{\sqrt{12}-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-|\sqrt{2}-2|$

b) Aratati ca numarul $x=\left(\frac{2}{\sqrt{20}+3\sqrt{2}}\right)-|3\sqrt{2}-2\sqrt{5}|+\sqrt{\left(-4\right)^{2}}$ este este patrat perfect.

2. Fie $E\left(x\right)=\left(x-1-\frac{x^{2}-1}{x+2}\right):\frac{x-1}{x+2}$

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita

b) Aduceti expresia la forma cea mai simpla

c) Determinati valorile intregi a, pentru care $\frac{6}{x+1}\cdot E(a)$ este numar intreg

3. Consideram tetraedrul ABCD de varf A, cu lungimea lui AB=8 cm

a) Calculati lungimea proiectiei segmentului AB pe planul (BCD)

b) Calculati distanta de la A la CD

c) Calculati distanta de la A la planul (BCD)

d) Determinati sinusul unghiului dintre dreapta AB si planul (BCD)

Solutie:

1. Ca sa aflam rezultatul calculului folosim formulele de calcul prescurtat ar si scoaterea factorilor e sub radicali:

$\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}=\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^{2}+2\cdot 2\sqrt{2}=8-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}=9$

Deci rezultatul calculului este 9.

2. Ca sa aflam cel mai mare element al multimii, mai intai aflam carui interval apartine elementul x

$|\frac{2x-1}{3}|<5\Rightarrow -5<\frac{2x-1}{3}<5|\cdot 3\Rightarrow -15\cdot 3<2x-1<15|+1\Rightarrow -15+1<2x-1+1<15+1\Rightarrow -14<2x<16|:2\Rightarrow -7<x<8$

Ca sa rezolvam moului de mai sus am tinut cont de regula

$|x|<a\Rightarrow -a<x<a$

Iar la inegalitatea gasita, am inmultit cu 3 pentru a obtine o inegalitate cu numitorul 1, apoi am adunat cifra 1 pentru toata inegalitatea si nu in ultimul rand am impartit printr-un 2 si astfel am obtinut intervalul $x\in \left(-7, 8\right)$ , adica multimea, dar frara elementul 0, deoarece

$x\in N^{*}$

$A=\left\{1,2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}$

Deci cel mai mare element al multimii este 7.

3. Ca sa calculam media geometrica a numerelor mai intai calculam numerele:

$a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}+3-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1+3-\sqrt{3}=2$

Acum calculam b

$b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2}=\frac{2}{2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^{2}}+4+2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+2=\frac{2}{2+2\sqrt{2}+1}+6+4\sqrt{2}=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{2\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}+6+4\sqrt{2}=6-4\sqrt{2}+6+4\sqrt{2}=6+6=12$

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus am folosit formulele de calcul prescurtat $\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$ , dar si rationalizarea numitorilor de forma $\sqrt{a}+b$ .

Iar media geometrica a numarelor este:

$M_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{2\cdot 12}=\sqrt{2\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{6}$

Observati ca am scos factorii de sub radicali.

4. Cum transformam fractia zecimala in fractie ordinara $0,08(3)=\frac{83-8}{900}=\frac{75}{900}^{(15}=\frac{75:15}{900:15}=\frac{5}{60}^{(5}=\frac{5:5}{60:5}=\frac{1}{12}$

Si am obtinut o fractie ordinara ireductibila.

5. Ca sa aflam rezultatul calculului mai intai scoatem factorii de sub radicali

$3\sqrt{48}-4\sqrt{12}=3\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}-4\sqrt{2^{2}\cdot 3}=3\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}-4\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}-8\sqrt{2}=4\sqrt{3}$

Probleme rezolvate pentru Evaluarea Nationala Matematica

Publicat în iunie 22, 2014 de MATEPEDIA

Subiectul III
1. In figura alaturata este reprezenata schematic o gradina in forma de trapez dreptunghic ABCD, cu AB||CD si $m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}$ si AB=40 m. Se stie ca triunghiul ABC este echilateral.

a) Aflati lungimea gardului care inconjoara gradina
b) Calculati suprafata gradinii
c) Determinati distanta AE, unde $E\in\left(AB\right)$ astfel incat parcelele AECD si BCE sa aiba suprafetele egale.
2. Un cort din panza are forma de piramida triunghiulara regulata, avand ca baza triunghiul echilateral ABC cu latura de 3 m si cu inaltimea VO de 1 m.
a) Determinati masura unghiului dintre drepata VA si planul (ABC)
b) Calculati aria laterala a piramidei
c) Cati metri patrati de panza sunt necesari pentru confectionarea cortului, stiind ca in acest proces se pierde 10% din panza utilizata?( Pentru $\sqrt{7}$ se va folosi valoarea aproximativa $\sqrt{7}\approx 2,64$ ).
Demonstratie:
1. a) Stim ca AB=40 m, si mai stim tot din ipoteza problemei ca triunghiul ABC este isoscel, deci gasim ca AB=AC=BC=40 m.
Si astfel daca ducem perpendiculara din C pe AB putem afla inaltimea trapezului si astfe stim si AD.
Astfel fie
$CF\perp AB$ , si cum triunghiul ABC este echilateral, rezulta ca CE este inaltime in trighiul echilateral ABC, stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este $h_{\Delta echilateral}=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{40\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}$ .
Observam ca ADCF este dreptunghi si astfel obtinem ca $AD=CF=20\sqrt{3}$ , dar si DC=AF.
Acum mai avem sa aflam DC, observati ca am dus perpendiculara din C pe AB si astfel observam ca triunghiul BCF este dreptunghic in F. Acum daca aplicam Teorema lui Pitagora putema afla BF, astfel avem ca:
$BF^{2}=BC^{2}-CF^{2}\Rightarrow BF^{2}=40^{2}-\left(20\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow BF^{2}=1600-400\cdot 3\Rightarrow BF^{2}=1600-1200\Rightarrow BF=\sqrt{400}\Rightarrow BF=20$
Cum stim BF=20, putem afla AF, astfel avem ca
$AB=AF+FB\Rightarrow 40=AF+20\Rightarrow AF=20$
Deci AF=20 m
Si cum stim AF, am aflat si DC=AF=20 cm.
Putema sa aflam AF si astfel stim ca CF este inaltime in triunghiul echilateral ABC, dar stim de la proprietatile triunghiului echilateral ca: Intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid, deci stim ca CF este inaltime dar si mediana si astfel obtinem ca CF imparte segmentul AB in oua segmente congruente.
Deci AF=FB=20 m.
Deci lungimea gardului care inconjoara gradina este:
$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=40+40+20+20\sqrt{3}=100+20\sqrt{3}=20\left(5+\sqrt{3}\right)$
Ca sa calculam suprafata gradinii, calculam aria trapezului, astfel avem ca
$A_{ABCD}=\frac{\left(B+B\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(40+20\right)\cdot 20\sqrt{2}}{2}=\frac{60\cdot 20\sqrt{3}}{2}=\frac{1200\sqrt{3}}{2}=600\sqrt{3}\;\; m^{2}$

c) Stim din ipoteza ca $A_{AECD}=A_{BCD}\Rightarrow \frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}=\frac{b\cdot h}{2}\Rightarrow \frac{\left(DC+AE\right)\cdot AD}{2}=\frac{EB\cdot CF}{2}\Rightarrow \frac{\left(20+AE\right)\cdot 20\sqrt{3}}{2}=\frac{BE\cdot 20\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 20+AE=BE$
Dar stim ca $BE=AB-AE\Rightarrow BE=40-AE$
Si daca inlocuim mai sus $20+AE=40-AE\Rightarrow 2AE=40-20\Rightarrow 2AE=20\Rightarrow AE=10\;\; m$

2.
a) $m\left(\widehat{VA,\left(ABC\right)}\right)=m\left(\widehat{VA, AO}\right)=m\left(\widehat{VAO}\right)$
Observam ca proiectia dreptei VA pe planul ABC este dreapta AO, acum sa aflam masura unghiului VAO, stim ca VO=1 m, triunghiul VAO este dreptunghic in O, putem afla AO, astfel avem ca
$AO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
Deci putem afla acum si lungimeasegmentului VA, astfel in triunghiul VAO aplicam Teorema lui Pitagora,
$VA^{2}=VO^{2}+AO^{2}\Rightarrow VA^{2}=1^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow VA=\sqrt{1+3}\Rightarrow VA=\sqrt{4}=2$
Acum daca aplicam Functiile trigonometrice obtinem ca:
$\sin VAO=\frac{VO}{VA}=\frac{1}{2}$
Deci masura unghiului VAO este de $m\left(\widehat{VAO}\right)=30^{0}$
b) Acum sa calculam aria laterala a piramidei triunghiulare regulate.
$A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$
Dar mai intai sa aflam perimetrul bazei triunghiului ABC, astfel avem:
$P_{ABC}=3\cdot l=3\cdot 3=9 m$
Dar sa aflam si apotema piramidei
$a_{p}^{2}=h^{2}+a_{b}^{2}$
Dar mai intai sa aflam apotema bazei
$a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Astfel avem ca
$a_{p}^{2}=1^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\Rightarrow a_{p}^{2}=1+\frac{3}{4}\Rightarrow a_{p}^{2}=\frac{4\cdot 1+1\cdot 3}{4}\Rightarrow a_{p}^{2}=\frac{7}{4}\Rightarrow a_{p}=\frac{\sqrt{7}}{2}$
Astfel $A_{l}=\frac{9\cdot \frac{\sqrt{7}}{2}}{2}=\frac{9\sqrt{7}}{4}\;\; m^{2}$
c) Din punctul b) stim aria laterala a cortului deci avem
$A_{l}=\frac{9\sqrt{7}}{4}=\frac{9\cdot 2,64}{4}=\frac{23,76}{4}=5,94\;\; m^{2}$
Dar stim ca pentru confectionarea cortului se pierde 10% din material, iar noi trebuie sa stim intreaga suprafata de material care trebuie pentru a construii cortul, astfel notam cu x intreaga suprafata de material si obtinem:
$x-\frac{10}{100}x=5,94\Rightarrow x-\frac{1}{10}x=5,94\Rightarrow \frac{10\cdot x-1\cdot 1}{10}=5,94\Rightarrow \frac{9x}{10}=5,94\Rightarrow 9x=10\cdot 5,94\Rightarrow 9x=59,4\Rightarrow x=59,4:9\Rightarrow x=6,6\;\; m^{2}$
Deci sunt necesari 6,6 mp pentru confectionarea cortului.

Problema rezolvata Unghiul unei drepte cu un plan

Publicat în ianuarie 8, 2014mai 17, 2019 de MATEPEDIA

Prezentam inca o Problema rezolvata Unghiul unei drepte cu un plan

Triunghiul dreptunghic ABC are ipotenuza BC inclusa in planul $\alpha, a\notin \alpha$ . Stiind ca $BC=12\sqrt{6}$ si $AB=12\sqrt{2} cm$ si ca unghiul format de dreapta AB cu planul $\alpha$ este de $45^{0}$ , aflati:

a) unghiul format de dreapta AC cu planul $\alpha$

b) perimetrul triunghiului A’BC, unde A’ este proiectia punctului A pe planul $\alpha$

Demonstratie!

Stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, din ipoteza mai stim BC si AB, astfel cu Teorema lui Pitagora calculam AC, astfel $AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=\left(12\sqrt{6}\right)^{2}-\left(12\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow AC^{2}=144\cdot 6-144\cdot 2\Rightarrow AC=\sqrt{144\cdot\left(6-2\right)}\Rightarrow AC=\sqrt{144\cdot 4}\Rightarrow AC=12\cdot 2\Rightarrow AC=24 cm$

Din ipoteza mai stim ca unghiul format de dreapta AB cu planul $\alpha$ este de $45^{0}$ .Astfel stim ca unghiul format de o dreapta cu un plan este unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan, si mai stim si ca proiectia unei drepte pe un plan poate fi o dreapta in cazul in care dreapta nu este perpendiculara pe plan sau un punct in cazul in care dreapta este perpendiculara pe plan, in cazul nostru

Fie
$AA'\perp \alpha,\\BC\subset\alpha, A'\in \alpha$
Stim acum ca
$\prec\left(AB,\alpha\right)=\prec\left(AB, A'B\right)=\prec\left(ABA'\right)$
Acum aflam
$\prec\left(AC,\alpha\right)=\prec\left(AC, CA'\right)=\prec\left(ACA'\right)$ ,

Acum trebuie sa aflam masura unghiului. Stim ca triunghiul ACA’ este dreptunghic in A’, stim ca unghiul ABA’ are masura de $45^{0}$ , astfel daca aplicam

$\sin ABA'=\frac{cat. opusa }{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AA'}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AA'}{12\sqrt{2}}\Rightarrow AA''=\frac{12\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\Rightarrow AA'=12 cm$ .

Iar daca in triunghiul AA’C dreptunghic aplicam $\sin \prec ACA'=\frac{AA'}{AC}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}=30^{0}$ .
Deci unghiul format de dreapta AC cu planul $\alpha$ este de 30 de grade.
b) $P_{\Delta A'BC}=?$

Cum $BC=12\sqrt{6} cm$ din ipotenuza

Acum trebuie sa aflam A’B si A’C.

Astfel in triunghiul ABA’ dreptunghic in A’ aplicam Teorema lui Pitagora

$A'B^{2}=AB^{2}-AA'^{2}\Rightarrow A'B^{2}=\left(12\sqrt{2}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow A'B^{2}=288-144\Rightarrow A'B=\sqrt{144}\Rightarrow A'B=12 cm$

Iar in triunghiul ACA’ dreptunghic in A’ aplicam cos ACA’

$\cos ACA'=\frac{cat.alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{CA'}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CA'}{24}\Rightarrow CA'=\frac{24\cdot\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CA'=12\sqrt{3}$

Deci cum stim toate lungimile laturilor calculam perimetrul triunghiului

$P_{\Delta A'BC}=A'B+A'C+BC=$

$12+12\sqrt{3}+12\sqrt{6}$

$=12\left(1+\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)$ .

Unghiul unei drepte cu un plan Lungimea proiectiei unui segment

Publicat în decembrie 6, 2013februarie 11, 2015 de MATEPEDIA

Dupa ce am invatat despre unghiul a doua drepte in spatiu si despre proiectia unei drepte pe un plan, dar si proiectia unui punct pe un plan, astazi o sa vorbim despre unghiul unei drepte cu un plan, am amintit si de proiectia unei drepte pe un plan pentru ca o sa ne ajute sa intelegem cum calculam unghiul unei drepte cu un plan.

Def: Unghiul unei drepte cu un plan este unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan (in cazul in care dreapta nu este perpendiculara pe plan si nici paralela cu el).

$m\left(\prec\left(d, \alpha\right)\right)=m\left(\prec\left(d, d'\right)\right)=u^{0}.$

Obs: Daca dreapta este perpendiculara pe plan, atunci masura unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan este de $90^{0}$ .

Daca dreapta este paralela cu planul, atunci masura unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan este de $0^{0}$ .

Masura unghiului unei drepte cu un plan este cuprins intre $0^{0}$ si $90^{0}$ .

Unghiul unei drepte cu un plan are masura cea mai mica dintre unghiurile format de dreapta cu toate dreptele planului respectiv.

Prezentam un exemplu pentru a intelege cea ce am spus mai sus:

1) Se da cubul ABCDA’B’C’D’ cu muchia AB=8 cm. Aflati:

a) $m\left(\prec \left(CC',\left(ABC\right)\right)\right)$

b) $m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)$

c) $m\left(\prec \left(BC',\left(ADD'\right)\right)\right)$

d) sinusul unghiului format de dreapta AC’ cu planul (A’B’C’)

e) distanta de la B’ la dreapta AC

f) tangenta unghiului formata de dreapta AB’ cu planul (BDD’)

g) masura unghiului format de dreaptele BC’ si CD’

Dem:

a) Astfel calculam mai intai $pr_{ABC} CC'$

Astfel mai intai calculam:

$pr_{ABC} C=C$

Dar si

$pr_{ABC}C'=B$

$m\left(\prec \left(CC',\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\prec CC',BC\right)=m\left(\prec BCC'\right)=90^{0}$

deoarece $pr_{\left(ABC\right)} CC'=BC$ , dar si din faptul ca dreapta CC’ este perpendiculara pe planul (ABC), daca dreapta este perpendiculara pe plan, atunci masura unghiului este de 90 de grade.

b) $m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)$

Calculam mai intai $pr_{ABC} AD'$

Astfel mai intai calculam $pr_{(ABC)} A=A$

Dar si $pr_{(ABC)} D'=D$

Astfel obtinem $pr_{(ABC)} AD'=AD$

si astfel obtinem:

$m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\prec\left(AD', AD\right)\right)=m\left(\prec D'AD\right)=45^{0}$ .

c) $m\left(\prec \left(BC',\left(ADD'\right)\right)\right)=0^{0}$

Observam ca BC’|| AD’, stim ca daca o dreapta este paralela cu o dreapta dintr-un plan, atunci dreapta este paralela cu planul deci BC’||(ADD’) si dupa cum am spus si la observatii daca dreapta este paralela cu planul atunci masura unghiului este de 0 grade.

d) sinusul unghiului format de dreapta AC’ cu planul (A’B’C’)

$\sin \left(\prec AC', \left(A'B'C'\right)\right)=\sin\left(\prec AC', A'C'\right)=\sin\prec AC'A'=\frac{cat.opusa}{ipotenuza}=\frac{AA'}{AC'}=\frac{8}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

e) distanta de la B’ la dreapta AC

$d\left(B', AC\right)=AO$

Stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta BO perpendiculara pe drapta AC, astfel stim ca $BO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$ deoarece este jumatate din diagonala patratului BB’=8 si astfel in triunghiul BB’ O dreptunghic in B’BO aplicam teorema lui Pitagora:

$\Rightarrow B'O^{2}=96\Rightarrow B'O=\sqrt{96}\Rightarrow B'O=4\sqrt{6}$ .
f) tangenta unghiului formata de dreapta AB’ cu planul (BDD’)

$\tan\left(\prec AB', \left(BDD'\right)\right)$

$pr_{\left(BDD'\right)}AB'=B'O$

$\tan\left(\prec AB', \left(BDD'\right)\right)=\tan\prec\left(AB' B'O\right)=\tan\prec AB'O=\frac{cat.opusa}{cat. alaturata}$

Stim ca $AO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$

si $AB'=l\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ ,

deoarece AB diagonala in patratul ABA’B’, stim ca $B'O=4\sqrt{6}$

Iar daca aplicam reciproca lui Pitagora observam ca triunghiul AOB’ este dreptunghic in O

$\tan\prec AB'O=\frac{AO}{B'O}=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .
Lungimea proiectiei unui segment
Teorema Lungimea proiectiei unui segment pe un plan este egala cu produsul dintre lungimea segmentului si cosinusul unghiului dintre dreapta suport a segmentului si dreapta respectiva.

$A'B'=AB\cdot\cos u$

Mate Pedia

Ne place matematica !

unghiul unei drepte cu un plan