Unghiuri determinate de doua drepte cu o secanta Drepte paralele

Despre unghiuri am mai discutat si in semestrul anterior, dar acum o sa discutam despre unghiuri determinate de doua drepte cu o secanta .

Incepem prin a defini notiunea de secanta

Definitie: O dreapta care intersecteaza doua drepte paralele in doua puncte distincte se numeste secanta.

$a\cap d=\left\{M\right\} \\b\cap d=\left\{N\right\}\Rightarrow$ d este secanta.

Despre unghiuri interne si unghiuri externe am mai discutat, iar notiunile noi pe care le introducem acum sunt notiunile de: unghiuri corespondente, unghiuri interne de aceasi parte a secantei, dar si unghiuri externe de aceiasi parte a secantei, in figura alaturata o sa arata si care sunt aceste unghiuri.

Astfel fata de dreptele date a si b, unghiurile 4, 3, 5, 6 sunt interne, iar unghiurile 1, 2, 7, 8 sunt externe.

Fata de secanta d unghiurile 1, 4, 5, 8 sunt de aceiasi parte a secantei.

La fel si fata de secanta d unghiurile 2, 3, 6,7 sunt de aceiasi parte a secantei.

Iar fata de secanta d unghiurile 2 si 8, 4 si 6 sunt de o parte si de alta a secantei.

Unghiurile determinate de doua drepte paralele cu o secanta se denumesc astfel:

– unghiuri alterne externe: 1 si 7 sau 2 si 8

– unghiuri alterne interne: 4 si 6 sau 3 si 5

-unghiri corespondente: 2 si 6 sau 3 si 7 sau 1 si 5 sau 4 si 8.

– unghiuri externe de aceiasi parte a secantei d:1 si 8 sau 2 si 7

– unghiuri interne de aceiasi parte a secantei d: 3 si 6 sau 4 si 5.

Dupa cum bine stiti si despre dreptele paralele am mai discutat, dar acum o sa mai invatam si anumite criteii de paralelism.

Definitie: Doua drepte se numesc paralele daca nu au niciun punct in comun.

Matematic scriem:
$c||d$ si citim dreapta d este paralela cu dreapta c.
Problema
1) Dreptele paralele a si b sunt taiate de secanta d in punctele $a\cap d=\left\{A\right\}$ si $b\cap d=\left\{B\right\}$ . Prin mijlocul O a segmentului $\left[AB\right]$ se duce o dreapta oarecare e, care intersecteaza pe a in M si pe b in N. Demonstrati ca:
a) $\left[MO\right]\equiv\left[NO\right]$
b) $\left[MB\right]\equiv\left[NA\right]$
Demonstratie

Observam ca
$\widehat{MAO}\equiv\widehat{NBO}$ (unghiuri alterne interne)
Din ipoteza stim ca
$\left[AO\right]\equiv\left[BO\right]$
Dar din figura observam ca
$\widehat{AOM}\equiv\widehat{BON}$ (ca unghiuri opuse la varf).
Deci cu cazul de congruenta U.L.U
$\Delta AOM\equiv\Delta BON$
Si astfel gasim si ca
$\left[MO\right]\equiv\left[NO\right]$

b)

Stim din ipoteza ca
$\left[AO\right]\equiv\left[OB\right]$
Mai stim si ca
$\widehat{MOB}\equiv\widehat{AON}$ (ca unghiuri opuse la varf)

$\left[MO\right]\equiv\left[NO\right]$
Si cu cazul de congruenta L.U.L
$\Delta MOB\equiv\Delta NOA$
Cum cele doua triunghiuri sunt congruente gasim si ca
$\left[MB\right]\equiv\left[NA\right]$
2) Fie triunghiul isoscel ABC cu AB=AC in care prelungim inaltimea $\left[AD\right]$ dincolo de D cu segmentul $\left[DM\right]\equiv\left[AD\right]$ . Demonstrati ca
a) $AB||CM$
b) $AC||BM$
.
Demonstratie:

a) stim din ipoteza ca
$\left[AD\right]\equiv\left[MD\right]$
$\widehat{ADB}\equiv\widehat{MDC}$ (ca unghiuri opuse la varf)
Stim ca AD este inaltimea corespunzatoare bazei intr-un triunghi isoscel, deci este si mediana, conform proprietatii Triunghiului isoscel, deci $\left[BD\right]\equiv\left[DC\right]$
Deci mai stim si ca
$\left[BD\right]\equiv\left[DC\right]$
Deci cu cazul L.U.L $\Delta ABD\equiv\Delta MCD$
Deci obtinem din congruenta triunghiurilor ca
$\widehat{ABD}\equiv\widehat{MCD}$
sau mai mult
$\widehat{ABC}\equiv\widehat{BCM}$ BC, fiind secanta, iar unghiurile au pozitia de alterne interne, conform Teoremei de mai sus rezulta ca AB||CM.
b) Stim din ipoteza ca
$\left[AD\right]\equiv\left[DM\right]$
$\widehat{ADC}\equiv\widehat{BDM}$ (ca unghiuri opuse la varf)
Dar si din punctul a stim ca
$\left[BD\right]\equiv\left[DC\right]$ .
Deci cu cazul de congruenta L.U.L $\Delta ACD\equiv\Delta MBD$
Deci stim si ca
$\widehat{ACD}\equiv\widehat{MBD}$ , dar mai mult
$\widehat{ACB}\equiv\widehat{CBM}$ , avend pozitia de unghiuri alterne interne, conform teoremei de mai sus AC||MB.

Unghiuri determinate de doua drepte cu o secanta Drepte paralele

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii