Aranjamente

Dupa ce am discutat despre Permutari a venit vremea sa discutam despre Aranjamente.Poate va intrebati de e important sa invatam notiunile teoretice despre Aranjamente. Raspunsul este firesc, deoarece ne ajuta sa calculam anumite aspecte din viata cotidiana, de exemplu:

In cate moduri poate programa o grupa de studenti 4 examene in 18 zile? Dar daca in prima zi trebuie programat neaparat un examen?
Normal ca putem sa o luam si logic, dar matematic enuntam mai intai urmatoarele notiuni?

Definite:

Submutimile ordonate de cate k elemente $k\leq n$ , care se pot forma din cele n elemente ale unei multimi finite, se numesc aranjamente de n luate cate k.

Si scriem $A^{k}_{n}$
Teorema:

Fie A multime cu n elemente $n\in N$ si $k\leq n, k\in N$ . Numarul aranjamentelor din A de n luate cate k este
$A^{k}_{n}=n\cdot\left(n-1\right)\cdot...\cdot\left(n-k+1\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$ .
Acum solutia la problema care am enuntat-o mai sus este:
Deci trebuie sa aflam in cate moduri putem alege 4 zile din cele 18 zile pentru a programa examenele, adica $A^{4}_{18}=\frac{18!}{\left(18-4\right)!}=\frac{18!}{14!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot 14}=15\cdot 16\cdot 17\cdot 18=73440$ (moduri).
Pentru cea de-a doua cerinta rationam asfel:
– in prima zi poate fi programat oricare din cele 4 examene, deci avem 4 posibilitati
– in celelalte 17 zile pot fi programate celelalte examene ramase, asfel
$A^{3}_{17}=\frac{17!}{\left(17-3\right)!}=\frac{17!}{14!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17}{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot 14}=15\cdot 16\cdot 17=4080$
Deci examenele pot fi programate in $4\cdot A^{3}_{17}=4\cdot 4080=16320$ .
2) Sa se rezolve

$\frac{2\cdot P_{x+2}}{A^{x-4}_{x-1}\cdot P_{4}}=105$

$\Rightarrow \frac{2\cdot \left(x+2\right)!}{\frac{\left(x-1\right)!}{\left(x-1-x+4\right)!}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=105\Rightarrow\frac{2\cdot\left(x+2\right)!}{\frac{\left(x-1\right)!}{3!} \cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=105\Rightarrow$

$\frac{2\cdot\left(x+2\right)!}{\frac{\left(x-1\right)!}{1\cdot 2\cdot 3}1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=105\Rightarrow \frac{2\cdot\left(x+2\right)!}{4\cdot\left(x-1\right)!}=105\Rightarrow \frac{\left(x+2\right)!}{2\cdot\left(x-1\right)!}=105\Rightarrow \frac{\left(x-1\right)\cdot x\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x+2\right)}{2\cdot\left(x-1\right)}=105\Rightarrow x\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x+2\right)=2\cdot 105\Rightarrow x\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x+2\right)=210$