Incepem prin a prezenta mai intai
Ecuatiile trigonometrice fundamentale
Fie a un numar real. Ecuatiile in necunoscuta x
se numesc ecuatiile trigonomerice fundamentale. In legatura cu ecuatiile de mai sus se pun doua probleme:
– existenta solutiei: are ecuatia cel putin o solutie?
– multimea solutiilor: daca ecuatia are solutie, care sunt toate solutiile ecuatiei?
Ecuatia
Conditia de existenta a solutiei ecuatiei este sau
Daca , adica
atunci ecuatia nu are solutie.
Daca stim ca ecuatia
are solutia unica in
si anume
.
Propozitie: Daca atunci multimea solutiilor ecuatiei
este
Daca ecuatia nu are solutie.
Propozitie:
Ecuatia
Propozitie:
Daca , atunci multimea solutiilor ecuatie
este
Daca , ecuatia nu are solutie.
Propozitie:
.
Ecuatii trigonometrice care se reduc la ecuatii fundamentale.
Nu exista o metoda generala pentru a rezolva ecuatiile trigonomtrice. Dar exista anumite procedee particulare prin care anumite ecuatii se reduc la ecuatii funamentale.
Ecuatii de forma sau
Exemplu:
Astfel avem ca
Sau
Deci multimea solutiilor ecuatiei este:
b)
Astfel, fie
Sau
Astfel multimea solutiilor ecuatiei este:
(deoarece prima multime este inclusa in cea de-a doua multime.)
c)
Pentru a rezolva o ecuatie de acest tip procedam astfel:
Sau
Astfel pentru ecuatia de mai sus avem
Astfel avem ca:
Sau
Deci multimea solutiilor ecuatiei este:
Ecuatii trigonometrice care se reduc la ecuatii algebrice
Consideram ecuatiile, unde
Prin efectuarea unor substitutii, fiecare din ecuatiile de mai sus se reduc la ecuatii de gradul al doilea.
Exemplu:
Sa se rezolve ecuatiile:
a)
Notamc
astfel ecuatia de mai sus devine:
Astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea pe care o rezolvam:
Dar si
Astfel avem ca
sau
Astfel observam ca , dar si
Deci ecuatia nu are solutii.
b)
astfel notam
si ecuatia devine:
Calculam
Deci solutia ecuatiei este
Astfel avem ca
Lasă un răspuns
Trebuie să fii autentificat pentru a publica un comentariu.