Pentru a transforma sumele in produs trebuie sa stim urmatoarele formule:
Aplicatii!
Sa se descompuna in produs:
a)
Pentru a transforma sumele in produs observam ca trebuie sa avem la suma termeni de numar par, asfel rescriind expresia obtinem
Am scris termenul al doilea ca suma de doi termeni.
Astfel folosind formula a treia obtinem
Dand factor comun obtinem
Aplicand din nou formula obtinem
AsTfel obtinem
Efectuand calculele obtinem:
b)
Asa cum am spus si mai sus, in cazul termenilor din suma trebuie sa avem un numar par, dupa cum bine vedeti noi avem 3 termeni.
Sa nu incercam sa aplicam formula de la diferenta de unghiuri, pentru ca ne complicam, fiind mult prea mult de calculat, astfel stim ca si astfel rescriind expresia obtinem un numar par de termeni, astfel obtinem:
Aplicand din nou formulele obtinem:
Astfel efectuand calculele obtinem:
La fel ca si mai sus dand factor comun pe obtinem:
Aplicand din nou formula pentru transformarea sumelor in produs obtinem:
Efectuand calcule in paranteza rotunda obtinem:
Astfel, obtinem:
.
2. Aratati ca daca atunci sunt adevarate relatiile:
Rezolvare!
obtinem
. Calculand obtinem:
adica
Ridicand la patrat egalitatea obtinem:
.
Efectuand produsul in membrul drept obtinem:
Dupa ce am redus termenii asemenea obtinem:
.
Si astfel am demonstrat egalitatea.
3. Se consideră triunghiul ABC. Să se demonstreze că , unde, A,B,C sunt masurile unghiurilor unui triunghi.
Demonstratie:
Stim ca suma masurilor unghiurilor intr-un triunghi este de sau
, astfel avem ca
, de unde obtinem
Astfel in relatia de mai sus obtinem:
Dar stim
Astfel, dand factor comun in membrul drept al egalitatii, obtinem:
Aplicand din nou formula pentru transformarea sumei in produs obtinem:
Astfel obtinem
Functia cos, fiind functie para, obtinem
Stim ca
Si astfel avem ca
Asadar obtinem
4. Demonstrati ca daca intre elementele unui triunghi exista relatia , atunci triunghiul este dreptunghic.
Solutie:
Din teorema sinusului stim ca , unde a, b ,c sunt laturile triunghiului, astfel avem ca
,
,
Rescriind relatia obtinem:
Folosind transformarea sumei in produs obtinem:
Dar stim ca
Si astfel obtinem
.
5. Demonstrati ca daca intr-un triunghi ABC, are loc relația atunci triunghiul este isoscel sau dreptunghic.
Demonstrație:
Egalitatea are loc daca B=C sau
6. Demonstrati ca daca atunci este adevarata relatia
Demonstratie:
.
7. Aratati ca
Demonstratie:
Stim ca , astfel obtinem ca
Aducand la acelasi numitor obtinem:
Lasă un răspuns
Trebuie să fii autentificat pentru a publica un comentariu.