Plane perpendiculare

Dupa ce am invatat cand doua drepte sunt perpendiculare acum o sa discutam despre Plane perpendiculare. Asa cum bine stiti doua drepte sunt perpendiculare daca formeaza un unghi de $90^{0}$ , astfel

Definitie: Doua plane se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi diedru cu masura de $90^{0}$ (diedru drept).

$\alpha\perp\beta$
Stim ca:
$a\perp b \\a\perp d \\b,d\subset \beta\Rightarrow a\perp\beta$
Deci in cazul a doua plane perpendiculare unul dintre plane contine o dreapta perpendiculara pe cel de-al doilea.
Teorema. Daca un plan contine o dreapta perpendiculara pe un alt plan atunci cele doua plane sunt perpendiculare.

$AB\perp\beta \\BC\subset\beta\Rightarrow \alpha\perp \beta$ .
Planele formeaza un unghi diedru drept, adica sunt perpendiculare.
Problema
1) Triunghiul echilateral ABC de latura 24 cm si triunghiul isoscel BCD $BD=CD=6\sqrt{5}$ sunt situate in plane perpendiculare. Aflati
a) distanta de la punctul D la dreapta AC

b) aria triunghiului ABD
Demonstratie:

$DE\perp BC \\EF\perp AC\Rightarrow EF\perp AC$
Cu teorema celor trei perpendiculare am gasit ca distanta de la punctul D la dreapta AC este segmentul EF.
Stim ca DE este inaltime in triunghiul DBC care este isoscel, dar mai stim ca inaltimea intr-un triunghi isoscel coincide cu mediana deci stim ca BE=EC=12 cm, cum DC stim, Calculam acum DE, astfel aplicam teorema lui Pitagora
$DE^{2}=DC^{2}-EC^{2}\Rightarrow DE^{2}=\left(6\sqrt{5}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow DE^{2}=180-144\Rightarrow DE^{2}=36\Rightarrow DE=\sqrt{36}\Rightarrow DE=6 cm$ .
Acum ca sa aflam pe EF, stim ca E este mijlocul lui BC, deci BE=EC=12 cm. In triunghiul EFC stim ca $m\left(\prec EFC\right)=60^{0}, m\left(\prec EFC\right)=90^{}0$ si gasim ca $m\left(\prec FEC\right)=30^{0}$ , deci putem aplica Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ astfel $FC=\frac{EC}{2}\Rightarrow FC=\frac{12}{2}\Rightarrow FC=6 cm$ , acum daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul EFC, gasim ca $EF^{2}=EC^{2}-FC^{2}\Rightarrow EF^{2}=144-36\rightarrow EF=\sqrt{108}\Rightarrow EF=6\sqrt{3}$ .
Sau daca ducem inaltimea in triunghiul ABC,

Fie AE perpendicular pe BC, abtinem $AE=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{24\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$ , acum observam ca triunghiul AEC este dreptunghic in E, deci aplicam Teorema inaltimii, astfel $EF=\frac{AE\cdot EC}{AC}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}=6\sqrt{3}$ .

Acum cum stim cele doua catete ale triunghiului dreptunghic DEF aplicam teorema lui Pitagora
$DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}\Rightarrow DF^{2}=6^{2}+\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow DE^{2}=36+108\Rightarrow DF^{2}=144\Rightarrow DF=\sqrt{144}\Rightarrow DF=12 cm$ .
b) $A_{\Delta ABD}=?$
Stim ca AB=24 cm $BD=6\sqrt{5}$ . Mai stim ca $AE=12\sqrt{3},ED=6 cm$ .
Dar daca privim figura observam ca:
$\Delta ABD\equiv\Delta ADC: \\\left[AB\right]\equiv\left[AC\right] \\\left[BD\right]\equiv\left[DC\right] \\\left[AD\right]\equiv\left[AD\right]$ (latura comuna).
Cum cele doua triunghiuri sunt congruente stim astfel ca si ariile sunt egale.
Importante sa stim conditia ca doua plane sa fie perpendiculare.

Plane perpendiculare

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii