Ne place matematica !

Plane perpendiculare

Dupa ce am invatat cand doua drepte sunt perpendiculare acum o sa discutam despre Plane perpendiculare. Asa cum bine stiti doua drepte sunt perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}, astfel

Definitie: Doua plane se numesc perpendiculare daca  formeaza un unghi diedru cu masura de  90^{0} (diedru drept).

conditia ca doua plane sa fie perpendiculare
\alpha\perp\beta
Stim ca:
a\perp b  \\a\perp d  \\b,d\subset \beta\Rightarrow a\perp\beta
Deci in cazul a doua plane perpendiculare unul dintre plane contine o dreapta perpendiculara pe cel de-al doilea.
Teorema. Daca un plan contine o dreapta perpendiculara pe un alt plan atunci cele doua plane sunt perpendiculare.
Cand O dreapta este perpendiculara pe un plan?

AB\perp\beta  \\BC\subset\beta\Rightarrow \alpha\perp \beta.
Planele formeaza un unghi diedru drept, adica sunt perpendiculare.
Problema
1) Triunghiul echilateral ABC de latura 24 cm si triunghiul isoscel BCD BD=CD=6\sqrt{5} sunt situate in plane perpendiculare. Aflati
a) distanta de la punctul D la dreapta AC

b) aria triunghiului ABD
Demonstratie:

distanta de la un punct la o dreapta
DE\perp BC  \\EF\perp AC\Rightarrow EF\perp AC
Cu teorema celor trei perpendiculare am gasit ca distanta de la punctul D la dreapta AC este segmentul EF.
Stim ca DE este inaltime in triunghiul DBC care este isoscel, dar mai stim ca inaltimea intr-un triunghi isoscel coincide cu mediana deci stim ca BE=EC=12 cm, cum DC stim, Calculam acum DE, astfel aplicam teorema lui Pitagora
DE^{2}=DC^{2}-EC^{2}\Rightarrow DE^{2}=\left(6\sqrt{5}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow DE^{2}=180-144\Rightarrow DE^{2}=36\Rightarrow DE=\sqrt{36}\Rightarrow DE=6 cm.
Acum ca sa aflam pe EF, stim ca E este mijlocul lui BC, deci BE=EC=12 cm. In triunghiul EFC stim ca m\left(\prec EFC\right)=60^{0}, m\left(\prec EFC\right)=90^{}0 si gasim ca m\left(\prec FEC\right)=30^{0}, deci putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} astfel FC=\frac{EC}{2}\Rightarrow FC=\frac{12}{2}\Rightarrow FC=6 cm, acum daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul EFC, gasim ca EF^{2}=EC^{2}-FC^{2}\Rightarrow EF^{2}=144-36\rightarrow EF=\sqrt{108}\Rightarrow EF=6\sqrt{3}.
Sau daca ducem inaltimea in triunghiul ABC,
PLANE perpendiculare

Fie AE perpendicular pe BC, abtinem AE=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{24\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}, acum observam ca triunghiul AEC este dreptunghic in E, deci aplicam Teorema inaltimii, astfel EF=\frac{AE\cdot EC}{AC}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}=6\sqrt{3}.

Acum cum stim cele doua catete ale triunghiului dreptunghic DEF aplicam teorema lui Pitagora
DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}\Rightarrow DF^{2}=6^{2}+\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow DE^{2}=36+108\Rightarrow DF^{2}=144\Rightarrow DF=\sqrt{144}\Rightarrow DF=12 cm.
b)A_{\Delta ABD}=?
Stim ca AB=24 cm BD=6\sqrt{5}. Mai stim ca AE=12\sqrt{3},ED=6 cm.
Dar daca privim figura observam ca:
\Delta ABD\equiv\Delta ADC:  \\\left[AB\right]\equiv\left[AC\right]  \\\left[BD\right]\equiv\left[DC\right]  \\\left[AD\right]\equiv\left[AD\right] (latura comuna).
Cum cele doua triunghiuri sunt congruente stim astfel ca si ariile sunt egale.
Importante  sa stim conditia ca doua plane sa fie perpendiculare.