Dupa ce am invatat cand doua drepte sunt perpendiculare acum o sa discutam despre Plane perpendiculare. Asa cum bine stiti doua drepte sunt perpendiculare daca formeaza un unghi de $latex 90^{0}$, astfel

Definitie: Doua plane se numesc perpendiculare daca  formeaza un unghi diedru cu masura de  $latex 90^{0}$ (diedru drept).

$latex \alpha\perp\beta$
Stim ca:
$latex a\perp b
\\a\perp d
\\b,d\subset \beta\Rightarrow a\perp\beta$
Deci in cazul a doua plane perpendiculare unul dintre plane contine o dreapta perpendiculara pe cel de-al doilea.
Teorema. Daca un plan contine o dreapta perpendiculara pe un alt plan atunci cele doua plane sunt perpendiculare.

$latex AB\perp\beta
\\BC\subset\beta\Rightarrow \alpha\perp \beta$.
Planele formeaza un unghi diedru drept, adica sunt perpendiculare.
Problema
1) Triunghiul echilateral ABC de latura 24 cm si triunghiul isoscel BCD $latex BD=CD=6\sqrt{5}$ sunt situate in plane perpendiculare. Aflati
a) distanta de la punctul D la dreapta AC

b) aria triunghiului ABD
Demonstratie:

$latex DE\perp BC
\\EF\perp AC\Rightarrow EF\perp AC$
Cu teorema celor trei perpendiculare am gasit ca distanta de la punctul D la dreapta AC este segmentul EF.
Stim ca DE este inaltime in triunghiul DBC care este isoscel, dar mai stim ca inaltimea intr-un triunghi isoscel coincide cu mediana deci stim ca BE=EC=12 cm, cum DC stim, Calculam acum DE, astfel aplicam teorema lui Pitagora
$latex DE^{2}=DC^{2}-EC^{2}\Rightarrow DE^{2}=\left(6\sqrt{5}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow DE^{2}=180-144\Rightarrow DE^{2}=36\Rightarrow DE=\sqrt{36}\Rightarrow DE=6 cm$.
Acum ca sa aflam pe EF, stim ca E este mijlocul lui BC, deci BE=EC=12 cm. In triunghiul EFC stim ca $latex m\left(\prec EFC\right)=60^{0}, m\left(\prec EFC\right)=90^{}0$ si gasim ca $latex m\left(\prec FEC\right)=30^{0}$, deci putem aplica Teorema $latex 30^{0}-60^{0}-90^{0}$ astfel $latex FC=\frac{EC}{2}\Rightarrow FC=\frac{12}{2}\Rightarrow FC=6 cm$, acum daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul EFC, gasim ca $latex EF^{2}=EC^{2}-FC^{2}\Rightarrow EF^{2}=144-36\rightarrow EF=\sqrt{108}\Rightarrow EF=6\sqrt{3}$.
Sau daca ducem inaltimea in triunghiul ABC,

Fie AE perpendicular pe BC, abtinem $latex AE=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{24\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$, acum observam ca triunghiul AEC este dreptunghic in E, deci aplicam Teorema inaltimii, astfel $latex EF=\frac{AE\cdot EC}{AC}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}=6\sqrt{3}$.

Acum cum stim cele doua catete ale triunghiului dreptunghic DEF aplicam teorema lui Pitagora
$latex DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}\Rightarrow DF^{2}=6^{2}+\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow DE^{2}=36+108\Rightarrow DF^{2}=144\Rightarrow DF=\sqrt{144}\Rightarrow DF=12 cm$.
b)$latex A_{\Delta ABD}=?$
Stim ca AB=24 cm $latex BD=6\sqrt{5}$. Mai stim ca $latex AE=12\sqrt{3},ED=6 cm$.
Dar daca privim figura observam ca:
$latex \Delta ABD\equiv\Delta ADC:
\\\left[AB\right]\equiv\left[AC\right]
\\\left[BD\right]\equiv\left[DC\right]
\\\left[AD\right]\equiv\left[AD\right]$ (latura comuna).
Cum cele doua triunghiuri sunt congruente stim astfel ca si ariile sunt egale.
Importante  sa stim conditia ca doua plane sa fie perpendiculare.