Stiti ca am invatat sa calculam distanta de la un punct la o dreapta, distanta de la un punct la un plan, dar si distanta dintre dou plane, ca sa gasim mai usor distanta de la un punct la un plan si toate cele care le-am enuntat mai sus o sa aplicam Teorema celor trei perpendiculare, dar si Reciprocele celor trei perpendiculare.
Definim prima data Teorema celor trei perpendiculare
Teorema:
Daca o dreapta este perpendiculara pe un plan
si prin piciorul ei trece o dreapta
, continuta in plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta
continuta in plan, atunci o dreapta
care uneste orice punct M al dreptei d cu intersectia P a celor doua drepte a si b, este perpendiculara pe cea de-a treia latura.
,
Acum cele doua reciproce sunt foarte importante deoarece putem afla distanta de la un punct la altul sau distanta de la un punct la un plan.
Reciprocele teoremei celor trei perpendiculare
R.T. 1
R.T. 2
,
Rezolvam probleme in care aplicam teorema celor trei perpendiculare
1) Pe planul triunghiului isoscel ABC cu AB=AC=20 cm si BC=32 cm se ridica perpendiculara AP, cu cm. Aflati:
a) distanta de la punctul P la dreapta BC
b) distanta de la punctul A la planul (PBC).
Stim ca
Construim , deci prin piciorul dreptei BC trece o dreapta perpendiculara pe o alta dreapta, atunci rezulta ca
,
Am aplicat Teorema celor trei perpendiculare si astfel am gasit ca .
Acum aflam valoarea numerica a distantei
Cum Ad este inaltime, stim ca intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea coincid, deci observam ca AD este si mediana, astfel , acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD pentru a afla AD
.
Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul PAD
.
b)
Daca , rezulta cu cea de doua reciproca a teoremei celor trei perpendiculare ca
, deci trebuie sa aflam pe AE, cum stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, aplicam teorema inaltimii
.
Deci important sa intelegem atat teorema celor trei perpendiculare, dar si reciprocele teoremei celor trei perpendiculare.