Problema rezolvata cu Teorema celor trei perpendiculare cand baza este dreptunghi

Prezentam o Problema rezolvata cu Teorema celor trei perpendiculare cand baza este dreptunghi

Pe planul dreptunghiului ABCD, AC intersecteaza BD in punctul O, AB = 32 cm si BC = 18 cm, se ridica perpendiculara OM, cu OM = 12 cm.
Aflati distantele de la punctul M la laturile dreptunghiului.

Ipoteza

ABCD dreptunghi

$AC\cap BD=\left\{O\right\}$

AB=32 cm BC=18 cm

$OM\perp\left(ABCD\right)$

Concluzie:

$d\left(M, AB\right)=? \\d\left(M, BC\right)=? \\d\left(M, CD\right)=? \\d\left(M, AD\right)=?$

Demonstratie:

Observati ca mai intai aflam distanta de la puncul M la dreapta AB, iar apoi la dreapta CD, deoarece dupa cum o sa vedeti distanta de la punctul M la cele doua drepte are aceeasi lungime.

Stim din ipoteza ca :

$MO\perp \left(ABC\right)$

de asemenea

$OQ\perp AB \\OQ, AB\subset\left(ABC\right)$

OQ este perpendicular pe AB deoarece triunghiul AOB e isoscel, iar intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoatrea, inaltimea corespunzatoare bazei coincid, deci OQ perpendicular pe AB, iar cu Teorema celor trei perpendiculare gasim si ca :

$MQ\perp AB$ , deci distant de la punctul M la dreapta AB este dreapta MQ.

Din ipoteza stim ca MO= 12 cm, dar ca sa aplicam Teorema lui Pitagora trebuie sa aflam OQ, astfel observam ca OQ=AD=BC=18 cm, dar mai observam si ca O este mijlocul segmentului RQ, deci $QO=OR=\frac{OQ}{2}=\frac{18}{2}=9 cm$ .

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul Dreptunghic MOQ si gasim :

$MQ^{2}=MO^{2}+OQ^{2}\Rightarrow =MQ^{2}=144+81\Rightarrow MQ=\sqrt{225}\Rightarrow MQ=15\;\; cm$

Iar daca calculam acum distanta de la M la dreapta CD observam ca :

$MO\perp\left(BCD\right) \\OR\perp DC \\OR, DC\subset\left(BCD\right)\Rightarrow MR\perp DC$

Acum stim MO din ipoteza OR l-am aflat mai sus trebuie acum sa aflam MR, astfel aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MOR si obtinem:

$MR^{2}=MO^{2}+OR^{2}\Rightarrow MR^{2}=12^{2}+9^{2}\Rightarrow MR^{2}=144+81\Rightarrow MR=\sqrt{225}\Rightarrow MR=15 cm$

Deci $d\left(m, AB\right)=d\left(M, CD\right)=15 cm$

Acum trebuie sa aflam distanta de la M la AD si distanta de la M la BC care de asemenea au aceeasi lungime

Acum stim ca

$MO\perp BD \\OE\perp AD, OE, AD\subset\left(ABD\right)\Rightarrow ME\perp AD$

Astfel cu teorema celor Trei perpendiculare gasim ca $d\left(M, AD\right)=ME$

Din ipoteza stim MO, acum aflam pe OE

Observati ca am format segmentul EF, unde O este mijlocul sau , mai observam ca EF=AB=CD=32 cm, cum stim ca O este mijlocul segmentului putem afla $OE=OF=\frac{EF}{2}=\frac{32}{2}=16 cm$

Acum dupa ce am aflat si EO putem aplica Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MOE si astfel obtinem :

$ME^{2}=MO^{2}+OE^{2}\Rightarrow ME^{2}=12^{2}+16^{2}\Rightarrow ME=\sqrt{144+256}\Rightarrow ME=\sqrt{400}\Rightarrow ME=20 cm$ .

Acum ca sa aflam $d\left(M, BC\right)=MF$ la fel aplicam Teorema celor trei perpendiculare, astfel

$MO\perp BCD \\OF\perp BC \\OF, BC\subset\left(BCD\right)\Rightarrow MF\perp BC$

Deci am aflat distanta de la punctul M la dreapta BC este MF, acum stiind cele doua catete aplicam Teorema lui Pitagora

$MF^{2}=MO^{2}+OF^{2}\Rightarrow MF^{2}=12^{2}+16^{2}\Rightarrow MF^{2}=144+256\Rightarrow MF=\sqrt{400}=20$

Deci distanta de la $d\left(M, AD\right)=d\left(M, BC\right)=20 cm$ .

Problema rezolvata cu Teorema celor trei perpendiculare cand baza este dreptunghi

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii