Probleme rezolvate cu piramide Aria laterala Aria totala si volumul

Prezentam mai multe probleme rezolvate cu piramide, cu aria laterala, aria totala si volumul, dar si distanta de la un punct la un plan, sinusul unghiului a doua plane:

1) Un tetraedru regulat ABCD, are AB=6 cm. Calculati:

a) Aria totala a tetraedrului

b) Volumul tetraedrului

c) $d\left(B,\left(ACD\right)\right)$

d) $\sin\left(\widehat{\left(ABC\right),\left(ACD\right)}\right)$

Demonstratie:

$A_{t}=A_{l}+A_{b}$

Calculam aria laterala a tetraedrului $A_{l}=P_{b}\cdot a_{p}=3\cdot l\cdot a_{p}=3\cdot 6\cdot a_{p}$
Acum calculam apotema piramidei.

Stim ca fetele laterale ale unui tetraedru regulat sunt triunghiuri echilaterale, deci apotema piramidei este si inaltime in triunghiul ACD, si stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este $h_{\Delta ACD}=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ .

Deci $a_{p}=3\sqrt{3}$
Si astfel aria laterala este $A_{l}=18\cdot 3\sqrt{3}=54\sqrt{3}$ cm.
Acum aflam aria bazei, stim ca baza este triunghi echilateral, deci $A_{\Delta BCD}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{6^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$ cm.
Iar aria totala este $A_{t}=A_{l}+A_{b}=54\sqrt{3}+9\sqrt{3}=63\sqrt{3}\;\; cm^{2}$ .
Acum sa aflam volumul Tetraedrului
Dar mai intai aflam inaltimea tetraedrului, stim apotema piramidei, acum aflam apotema bazei $a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$
Acum in triunghiul VOM aplicam Teorema lui Pitagora $h^{2}=a_{p}^{2}-a_{b}^{2}\Rightarrow VO^{2}=VM^{2}-OM^{2}\Rightarrow VO^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-\sqrt{3}^{2}\Rightarrow VO=\sqrt{27-3}\Rightarrow VO=\sqrt{24}\Rightarrow VO=2\sqrt{6}$ ,
$V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}=\frac{9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{3}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{1}=6\sqrt{18}=6\cdot 3\sqrt{2}=18\sqrt{2}\;\; cm^{3}$ .

b) Acum sa aflam distanta de la punctul B la planul ACD, astfel :
Stim ca distanta de la un punct la un plan este proiectia punctului din punctul dat pe plan.
$d\left(B,\left(ACD\right)\right)=BN$
Observam ca $BN\perp AM \\ AM\subset\left(ACD\right)\Rightarrow Bn\perp\left(ACD\right)$

Acum sa afla lungimea segmentului BN.
Stim ca AB=6 cm, $BM=AM=3\sqrt{3}$ , deoarece la fel ca si AM, BM este inaltime in triunghiul echilateral BCD.
Deci observam ca triunghiul BCD este isoscel si astfel ca sa afla lungimea segmentului BM, calculam de doua ori aria triunghiului AMB, odata considerand baza AM, iar apoi considerand baza BM.

$A_{\Delta ABM}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{BM\cdot AO}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{2}=\frac{6\sqrt{18}}{2}=\frac{3\sqrt{18}}{1}=3\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2} cm^{2}$
Acum aflam $A_{\Delta BAM}=\frac{AM\cdot BN}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot BN}{2}$
Acum daca egalam cele doua arii gasim ca $A_{\Delta ABM}=A_{\Delta BAM}\Rightarrow 9\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot BN}{2}\Rightarrow 2\cdot 9\sqrt{2}=3\sqrt{3}\cdot BN\Rightarrow 18\sqrt{2}=3\sqrt{3}\cdot BN\Rightarrow BN=\frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\Rightarrow BN=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Rightarrow BN=\frac{6\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}\;\;cm$ .
d) $\sin{\widehat{\left(ABC\right),\left(ACD\right)}}$

Masura unghiului a doua plane
Observam ca AC este muchia comuna celor doua plane si astfel ducem perpendiculara din B pe AC si din D pe AC si astfel gasim ca $BP\perp AC \\ BP, AC\subset\left(ABC\right) \\DP\perp AC, DP, AC\subset\left(ACD\right)$

Si astfel gasim $\sin{\widehat{\left(ABC\right),\left(ACD\right)}}=\sin{\widehat{BP, DP}}=\sin{\widehat{BPD}}$
Acum trebuie sa aflam ce valoare are sinusul unghiului.
Observam ca BP si PD sunt inaltimi in triunghiurile echilaterale BAC si DAC, astfel gasim ca $BP=PD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3} cm.$
Stim ca BD=6 cm
Deci triunghiul BPD este isoscel.

Acum, ca sa aflam sinusul unghiului, trebuie sa avem triunghi dreptunghic, deci trebuie sa ducem perpendiculara din B pe DP, si astfel gasim sinusul unghiului:
Fie $BQ\perp PD$ ,
Dar ca sa aflam sinusul unghiului trebuie sa stim BQ
Astfel ducem o noua perpendiculara din P pe BD, adica $PF\perp BD$
Acum calculam PF $PF^{2}=BP^{2}-BF^{2}\Rightarrow PF^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-3^{2}\Rightarrow PF^{2}=27-9\Rightarrow PF=\sqrt{18}\Rightarrow PF=3\sqrt{2} cm$ .
Stim ca BF=3 deoarece $BF=\frac{BD}{2}$ (intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, inaltimea corespunzatoare bazei coincide), deci BF este si mediana.
Acum putem afla $A_{\Delta PBD}=\frac{BD\cdot PF}{2}=\frac{6\cdot 3\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$

Acum calculam si aria $A_{\Delta PBD}=\frac{PD\cdot BQ}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot BQ}{2}$
Egalam cele doua arii si gasim:
$A_{\Delta PBD}=A_{\Delta PBD}\Rightarrow 9\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot BQ}{2}\Rightarrow 2\cdot 9\sqrt{2}=3\sqrt{3}\cdot BQ\Rightarrow BQ=\frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}$
Deci gasim ca $BQ=2\sqrt{6} cm$
Acum putem aplica functiile trigonometrice $\sin{\widehat{BPQ}}=\frac{BQ}{BP}=\frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ .

Astfel :
Aria laterala a unui tetraedru regulat este $A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}=\frac{3l\cdot\frac{l\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{4}$ .
Aria totala $A_{t}=A_{l}+A_{b}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4l^{2}\sqrt{3}}{4}=l^{2}\sqrt{3}$ .
$V=\frac{A_{b}\cdot h}{2}=\frac{\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h}{2}=\frac{l^{2}\sqrt{3}\cdot h}{8}$ .
Stim ca tetraedrul regulat este un caz particular de pirmida.
Tetraedrul regulat are toate fetele laterale triunghiuri echilaterale, dar si baza este tot triunghi echilateral.

Probleme rezolvate cu piramide Aria laterala Aria totala si volumul

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii