Prezentam mai multe probleme rezolvate cu piramide, cu aria laterala, aria totala si volumul, dar si distanta de la un punct la un plan, sinusul unghiului a doua plane:

1) Un tetraedru regulat ABCD, are AB=6 cm. Calculati:

a) Aria totala a tetraedrului

b) Volumul tetraedrului

c) d\left(B,\left(ACD\right)\right)

d) \sin\left(\widehat{\left(ABC\right),\left(ACD\right)}\right)

Demonstratie:

cum arata un tetraedru regulat

A_{t}=A_{l}+A_{b}

Calculam aria laterala a tetraedrului A_{l}=P_{b}\cdot a_{p}=3\cdot l\cdot a_{p}=3\cdot 6\cdot a_{p}
Acum calculam apotema piramidei.

Stim ca fetele laterale ale unui tetraedru regulat sunt triunghiuri echilaterale, deci apotema piramidei este si inaltime in triunghiul ACD, si stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este h_{\Delta ACD}=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.

Deci a_{p}=3\sqrt{3}
Si astfel aria laterala este A_{l}=18\cdot 3\sqrt{3}=54\sqrt{3}cm.
Acum aflam aria bazei, stim ca baza este triunghi echilateral, deci A_{\Delta BCD}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{6^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}cm.
Iar aria totala este A_{t}=A_{l}+A_{b}=54\sqrt{3}+9\sqrt{3}=63\sqrt{3}\;\; cm^{2}.
Acum sa aflam volumul Tetraedrului
Dar mai intai aflam inaltimea tetraedrului, stim apotema piramidei, acum aflam apotema bazei a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}
Acum in triunghiul VOM aplicam Teorema lui Pitagora h^{2}=a_{p}^{2}-a_{b}^{2}\Rightarrow VO^{2}=VM^{2}-OM^{2}\Rightarrow VO^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-\sqrt{3}^{2}\Rightarrow VO=\sqrt{27-3}\Rightarrow VO=\sqrt{24}\Rightarrow VO=2\sqrt{6},
V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}=\frac{9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{3}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{1}=6\sqrt{18}=6\cdot 3\sqrt{2}=18\sqrt{2}\;\; cm^{3}.
cum aflam inaltimea si apotema piramidei intr-un tetraedru
b) Acum sa aflam distanta de la punctul B la planul ACD, astfel :
Stim ca distanta de la un punct la un plan este proiectia punctului din punctul dat pe plan.
d\left(B,\left(ACD\right)\right)=BN
Observam ca BN\perp AM  \\ AM\subset\left(ACD\right)\Rightarrow Bn\perp\left(ACD\right)

Acum sa afla lungimea segmentului BN.
Stim ca AB=6 cm, BM=AM=3\sqrt{3}, deoarece la fel ca si AM, BM este inaltime in triunghiul echilateral BCD.
Deci observam ca triunghiul BCD este isoscel si astfel ca sa afla lungimea segmentului BM, calculam de doua ori aria triunghiului AMB, odata considerand baza AM, iar apoi considerand baza BM.

A_{\Delta ABM}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{BM\cdot AO}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{2}=\frac{6\sqrt{18}}{2}=\frac{3\sqrt{18}}{1}=3\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2} cm^{2}
Acum aflam A_{\Delta BAM}=\frac{AM\cdot BN}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot BN}{2}
Acum daca egalam cele doua arii gasim ca A_{\Delta ABM}=A_{\Delta BAM}\Rightarrow  9\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot BN}{2}\Rightarrow 2\cdot 9\sqrt{2}=3\sqrt{3}\cdot BN\Rightarrow  18\sqrt{2}=3\sqrt{3}\cdot BN\Rightarrow BN=\frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\Rightarrow BN=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Rightarrow BN=\frac{6\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}\;\;cm.
d) \sin{\widehat{\left(ABC\right),\left(ACD\right)}}

Masura unghiului a doua plane
Observam ca AC este muchia comuna celor doua plane si astfel ducem perpendiculara din B pe AC si din D pe AC si astfel gasim ca BP\perp AC  \\ BP, AC\subset\left(ABC\right)  \\DP\perp AC,  DP, AC\subset\left(ACD\right)

Si astfel gasim \sin{\widehat{\left(ABC\right),\left(ACD\right)}}=\sin{\widehat{BP, DP}}=\sin{\widehat{BPD}}
Acum trebuie sa aflam ce valoare are sinusul unghiului.
Observam ca BP si PD sunt inaltimi in triunghiurile echilaterale BAC si DAC, astfel gasim ca BP=PD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3} cm.
Stim ca BD=6 cm
Deci triunghiul BPD este isoscel.

Acum, ca sa aflam sinusul unghiului, trebuie sa avem triunghi dreptunghic, deci trebuie sa ducem perpendiculara din B pe DP, si astfel gasim sinusul unghiului:
Fie BQ\perp PD,
Dar ca sa aflam sinusul unghiului trebuie sa stim BQ
Astfel ducem o noua perpendiculara din P pe BD, adica PF\perp BD
Acum calculam PF PF^{2}=BP^{2}-BF^{2}\Rightarrow PF^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-3^{2}\Rightarrow PF^{2}=27-9\Rightarrow PF=\sqrt{18}\Rightarrow PF=3\sqrt{2} cm.
Stim ca BF=3 deoarece BF=\frac{BD}{2} (intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, inaltimea corespunzatoare bazei coincide), deci BF este si mediana.
Acum putem afla A_{\Delta PBD}=\frac{BD\cdot PF}{2}=\frac{6\cdot 3\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}

Acum calculam si aria A_{\Delta PBD}=\frac{PD\cdot BQ}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot BQ}{2}
Egalam cele doua arii si gasim:
A_{\Delta PBD}=A_{\Delta PBD}\Rightarrow 9\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot BQ}{2}\Rightarrow 2\cdot 9\sqrt{2}=3\sqrt{3}\cdot BQ\Rightarrow BQ=\frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}
Deci gasim ca BQ=2\sqrt{6} cm
Acum putem aplica functiile trigonometrice \sin{\widehat{BPQ}}=\frac{BQ}{BP}=\frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.

sinusul unghiului dintre doua plane
Astfel :
Aria laterala a unui tetraedru regulat este A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}=\frac{3l\cdot\frac{l\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{4}.
Aria totala A_{t}=A_{l}+A_{b}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4l^{2}\sqrt{3}}{4}=l^{2}\sqrt{3}.
V=\frac{A_{b}\cdot h}{2}=\frac{\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h}{2}=\frac{l^{2}\sqrt{3}\cdot h}{8}.
Stim ca tetraedrul regulat este un caz particular de pirmida.
Tetraedrul regulat are toate fetele laterale triunghiuri echilaterale, dar si baza este tot triunghi echilateral.

Faci un comentariu sau dai un răspuns?