Se considera functia definita prin
a) Sa se calculeze
b) Sa se determine punctele extreme ale functiei f.
c) Sa se demonstreze ca pentru oricare
.
Solutie
a) .
b) Stim ca , adica
si gasim
(deci nu convin).
Deci gasim si
, observam ca
nu convine deoarece x se afla in intervalul
.
Acum trasam tabelul de variatie
Calculam
.
Deci , adica functia este descrescatoare pe acest interval si
, adica functia este crescatoare pe acest interval. Si astfel gasim ca x=1 este punct de minim pentru functia f.
c) Din punctul b) stim ca x=1 este punct de minim global , deci , avem
.
Acum daca notam obtinem
.
Ceea ce trebuia demonstrat.
2) Se considera integrala .
a) Sa se calculeze
b) Sa se determine
c) Sa se arate ca pentru orice
.
Solutie
a)
b)
Integrala de mai sus am rezolvat-o cu ajutorul integrarri prin parti.
c)
Acum
Acum obtinem
.