In cadrul acestui articol prezentam doua probleme  pe care le rezolvam cu ajutorul Teoremei lui Pitagora, Teoremei inaltimii, dar si cu ajutorul Teoremei catetei.
Astfel in cazul primei probleme, avem un triunghi dreptunghic, stim o cateta, dar si raportul dintre lungimea proiectiei si ipotenuza. Si avem sa aflam lungimile proiectiilor, ipotenuza, o cateta, dar si inaltimea AD, dusa din varful unghiului A.

1) In triunghiul ABC,mA=90 grade, AD perpendiculara pe BC, AB=14cm si BD supra BC=1 supra 4 . Calculati BD,BC,CD,AC si AD

Stim ca:

Astfel obtinem:

In cazul raportului pe care il avem din ipotenuza am scosa BD
Daca aplicam in triunghiul ABC dreptunghic in A, Teorema catetei obtinem:

Iar

Acum aflam CD, astfel avem:

Acum aflam AC, in triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora:

Iar AD este
Urmatoarea problema avem la fel un triunghi dreptunghic, avem inaltimea din varful unghiului A, dar problema ne ofera informatii si despre rapoartul celor doau proiectii. In cadrul acestei probleme stim aria triunghiului. Pornind de la aria triunghiului o sa aflam pentru inceput lungimea proiectiilor catetelor, lungimile catetei si lungimea inaltimii.

2.) In triunghiul ABC, mA=90 grade, AD perpendiculara pe BC, BD supra DC= 4 supra 9 si aria triunghiului este egala cu 3900cm patrati.Calculati:
a) lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza:BD si DC ;
b) lungimile catetelor AB si AC ;
c) Lungimea inaltimii AD

Demonstratie:
Stim ca:
, astfel obtinem
Mai stim si ca

Dar cu Teorema catetei stim ca:

dar si

Astfel obtinem:



Obsevati ca am folosit Teorema catetei pentru a afla lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza.
Iar

Deci am aflat lungimile proiectiilor.

Acum sa aflam lungimile catetelor
Stim ca

Dar stim cu Teorema inaltimii ca

Astfel avem ca

Acum pentru a afla AB stim ca BC=BD+DC=90+40=130
Iar daca aplicam Teorema catetei obtinem ca

Acum ca sa aflam lungimea inaltimii stim ca