Rezolvari subiecte Evaluarea Nationala 2015

Demonstratie:
a) Stim ca aria unui dreptunghi este $A_{dreptunghi}=L\cdot l=AB\cdot AD=150\cdot 100=15000\;\; m^{2}$
Dar transformati in hectare obtinem
$15 000:10000=1,5 ha$
b)Triunghiul MNB isoscel

Stim ca M este mijlocul lui AD astfel avem ca $AM=MD=\frac{100}{2}=50 m$
Dar mai stim si ca $DN=2\cdot NC$
Dar stim ca $DC=DN+NC\Rightarrow 150 m=2NC+NC\Rightarrow 3NC=150 m\Rightarrow NC=150:3\Rightarrow NC=50\;\; m$
Si DN este egal cu $DN=150-50=100$
Triunghiul DMN este dretunghic in D si cu Teorema lui Pitagoram obtinem
$MN^{2}=DM^{2}+DN^{2}\Rightarrow MN^{2}=100^{2}+50^{2}\Rightarrow MN^{2}=10000+2500\Rightarrow MN^{2}=12500\Rightarrow MN=\sqrt{12500}=10\cdot 5\sqrt{5}\Rightarrow MN=50\sqrt{5}$
Dar si $BN^{2}=BC^{2}+CN^{2}\Rightarrow BN^{2}=10000+2500\Rightarrow BN^{2}=12500\Rightarrow BN=\sqrt{12500}=10\cdot 5\sqrt{5}\Rightarrow BN=50\sqrt{5}$
Astfel obtinem ca $MN=BN=50\sqrt{5}\;\; m$
Deci triunghiul MNB isoscel de baza MB.
c) Masura unghiului MN si NB.
$m\left(\widehat{MN,NB}\right)=m\left(\widehat{MNB}\right)=$
Stim ca Triunghiul MNB este isoscel de baza BM, astfel in triunghiul ABM aplicam Teorema luin Pitagora:
$BM^{2}=AM^{2}+AB^{2}\Rightarrow BM^{2}=50^{2}+150^{2}\Rightarrow BM^{2}=2500+22500\Rightarrow BM^{2}=25000\Rightarrow BM=\sqrt{25000}=5\cdot 10\sqrt{10}=50\sqrt{10}$
Astfel stim ca $MN=BN=50\sqrt{5}$ si $BM=50\sqrt{10}$

si cu Reciproca Teoremai lui Pitagora obtinem $BM^{2}=MN^{2}+BN^{2}\Rightarrow 25000=12500+12500$
Astfel obtinem ca Triunghiul MNB este dreptunghic isoscel astfel avem ca $m\left(\widehat{MNB}\right)=90^{0}$

2. Observam ca avem o piramida patrulatera regulata, in care triunghiul VAD este isoscel si VM mediana, inaltime, mediatoare si bisectoare deci cu teorema lui Pitagora $VM^{2}=VA^{2}-AM^{2}$ , unde $AM=MD=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\;\; cm$
Astfel $VM^{2}=\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-3^{2}\Rightarrow VM=\sqrt{45-9}\Rightarrow VM=\sqrt{36}=6\;\; dm$
b) Pentru a afla cate grame de vopsea sunt necesare calculam aria laterala
$A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$
stim ca
$a_{p}=VM=6 cm$
Astfel $A_{l}=\frac{4\cdot 6\cdot 6}{2}=\frac{24\cdot 6}{2}=\frac{12\cdot 6}{1}=72\;\; dm^{2}$
Stim ca pentru 1 $dm^{2}$ se folosec 30 g vopsea, astfel trebuie $72\cdot 30 g=2160g$
deci ne trebuie 2160 g
c) $\sin\left(\widehat{(VAD),(VMB)}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Dupa cum stiti cand avem sa aflam masura unghiului dintre doua plane aflam intersectia celor doua plane, astfel stim ca daca doua plane au un puncte in comun ele au si o drepata in comun, astfel $(VAD)\cap(VBC)={V}$
Astfel avem $VM\perp AD; VM, AD\subset(VAD)$
si construim $VN\perp BC; VN, BC\subset(VBC)$
Astfel avem sinusul unghiului $\sin\left(\widehat{VN,VM}\right)=\sin\widehat{NVM}$
Observam ca $MN=DC=AB=6 dm$
din a) stim si ca $VM=6 dm$ , obtinem si ca $VN=6 cm$ , deci triunghiul MVN este echilateral.
Astfel stim ca $A_{\Delta MVN}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\; dm$
Astfel mai stim si ca $A_{\Delta}=\frac{MV\cdot NV\cdot \sin\widehat{MVN}}{2}=\frac{6\cdot 6\cdot\sin\widehat{MVN}}{2}=\frac{36\cdot\sin\widehat{MVN}}{2}=18\sin\widehat{MVN}$
Astfel egaland ariile stim ca $18\sin\widehat{MVN}=9\sqrt{3}\Rightarrow \sin\widehat{MVN}=\frac{9\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Rezolvari subiecte Evaluarea Nationala 2015

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii