Subiectul II
1. Desenati o prisma patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’
2. Aflati trei numere naturale consecutive impare, stiind ca daca suma lor se imparte la 8 obtinem catul 15 si restul 3.
3. Cate numere de forma sunt divizibile cu 41.
4. Consideram functia . Stiind ca graficul lui f contine punctul se cere:
a) Aratati ca a=1 si reprezentati grafic functia obtinuta
b) Determinati punctul de pe graficul functiei f care are abscisa egala cu un sfert din ordonata.
5. Se considera expresia , unde . Aduceti expresia data la forma cea mai simpla.
Solutie:
1. Mai intai desenam prisam patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’

2. Cum aflam trei numere naturale consecutive impare? cand avem anumite conditii in ipoteza. In primul rand folosim teorema impartirii cu rest, dar trebuie sa mai tinem cont ca avem si numere naturale impare consecutive, astfel fiem numerele impare consecutive:

Stim ca suma numerelor se imparte la 8, astfel suma lor este

Suma lor se imparte la 8
se obtine si restul r=3
Astfel folosim Teorema impartirii cu rest:

Acum rezolvam ecuatia:

Deci am gasit n=39 si este un numar impar.
Deci primul numar este 39, acum sa aflam si celelate 2 numere.

Dar si

Deci numerele impare consecutive sunt 39,41,43
Acum daca efectuam proba obtinem:

Acum daca impartim
obtinem catul q=15si restul r=3
3. Cum gasim numerele de form devizibile cu 41
Cautam numerel divizibile 41 intre
Observam ca numarul 41 este un numar prim, deci numerele divizibile trebuie sa fie de form
Iar daca luam pentru obtinem divizibil cu 41, deci primul numar este: 410, deci a=1 si b=0
Pentru obtinem divizibil cu 41, al dolile numar divizibil cu 41 este 451, astfel a=5 si b=1
Pentru obtinem divizibil cu 41, al treilea numar divizibil cu 41 este 492, astfel a=9 si b=2.
Deci avem trei numere divizibile cu 41 de forma
Pentru x=13 obtineam un numar mai mare decat 4ab si astfe nu se mai indeplinea conditia aceasta, la fel si pentru x<10 se obtinea un numar mai mic decat de forma 4ab. 4. a) Pentru a obtine a=1 stim ca $latex A\left(-1,-6\right)$ apartine graficului functiei, astfel avem ca: $latex f\left(-1\right)=-6\Rightarrow \left(2a+3\right)\cdot\left(-1\right)-3a+2=-6\Rightarrow -2a-3-3a+2=-6\Rightarrow-5a-1=-6\Rightarrow -5a=-6+1\Rightarrow -5a=-5\Rightarrow a=1$ Pentru a=1 sa reprezentam grafic functia, astfel obtinem functia: $latex f\left(x\right)=\left(2\cdot 1+3\right)x-3\cdot 1+2\Rightarrow f\left(x\right)=\left(2+3\right)x-3+2=5x-1$ DEci functia obtinuta este $latex f\left(x\right)=5x-1$ Acum reprezentam grafic functia: Astfel avem $latex G_{f}\cap Ox$ avem ca $latex f\left(x\right)=0\Rightarrow 5x-1=0\Rightarrow 5x=1\Rightarrow x=\frac{1}{5}$ Deci avem $latex A\left(\frac{1}{5}, 0\right)$ Acum calculam $latex G_{f}\cap Oy$, astfel calculam $latex f\left(0\right)=5\cdot 0-1=0-1=-1$ Deci $latex B\left(0,-1\right)$ Acum reprezentam grafic functia.
b) Acum trebuie sa determinam punctul de pe graficul functie f care are absscisa egala cu un sfer de ordonata.
Astfel fie punctul , dar stim ca abscisa este egala cu un sfert de ordonata, astfel avem ca
, astfel obtinem acum
astfel obtinem ca:

Iar
Deci obtinem

5. Cum aducem expresia la forma cea mai simpla, astfel avem ca:
, unde
Mai intai in partanteza rotuda aducem la acelasi numitor:





Dupa ce am adus la acelasi numitor in paranteza rotunda, am efectuat calculele si am efectuat impartirea celor doua fractii, adica am inmultit prima fractie cu inversul celei de-a doua, iar apoi am simplificat, unde observati ca am adus expresia la forma cea mai simpla.

b) determinati valorile lui , pentru care
Stim ca

Mai intai punem conditia ca numitorul divide numaratorul si obtinem:
$latex\left(x-1\right)|\left(x+1\right)$
Astfel rescriid raportul obtinem:

Astfel punand conditia ca numitorul divide numaratorul obtinem:

Si scriind divizorii intreigi ai lui 2 avem:

Astfel egaland numitorul cu fiecare divizor obtinem: