cand unghiul unei drepte cu un plan este de 0 grade

Dupa cum bine stiti am mai calculat distanta dintre un punct si o dreapta, distanta dintre un punct si un plan, distanta de dintre doua plane, distanta dintre o dreapta si un plan, dar am calculat si masuri de unghiuri, adica masura dintre doua drepte, masura dintre o dreapta si un plan, dar si masura dintre doua plane, cat si unghiul diedru. Pe site gasiti informatii despre toate acestea.

Astfel prezentam probleme rezolvate in care o sa folosim notiunile prezentate mai sus, astfel:

1. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ are $AA'=3\sqrt{5}, AB=6 cm$ si BC=3 cm. Fie O mijlocul lui [BD], iar M mijlocul segmentului [AB].

a) Demonstrati $OM\perp A'B$
b) Calculati $m\left(\widehat{D'B,(ABC)}\right)$

Demostratie:

Stim ca M este mijlocul segmentului AB, astfel $AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3 cm$
In triughiul ABD aplican Teorema lui Pitagora obtinem:
$BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}\Rightarrow BD^{2}=6^{2}+3^{2}\Rightarrow BD=\sqrt{36+9}\Rightarrow BD=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Astfel: $BO=DO=\frac{BD}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$

Stim ca O este mijlocul lui BD si M mijlocul lui AM, astfel OM este linie mijlocie in triunghiul ADB, astfel avem ca $MO=\frac{AD}{2}=\frac{3}{2}$

Astfel avem ca : $MO^{2}+BM^{2}=BO^{2}$

Adica $\frac{9}{4}+9=\frac{45}{4}$ , adica cu reciproca lui Pitagora Triunghiul BOM este dreptunghic in M, adica $OM\perp AB$ , dar $OM\perp AA'$ astfel obtinem ca $OM\perp\left(AA'B\right)$

Observam ca $A'B\subset\left(AA'B\right)$ si obtinem ca $OM\perp A'B$ (daca o dreapt este perpendiculara pe un plan atunci ea este perpendiculara pe orice drepata din acel plan).

b) Ca sa calculam masura unghiului dintre o dreapta si un plan, calculam mai intai proiectia dreptei pe plan astfel avem ca $pr_{(ABC)}D'B$

Ca sa fi mai usor de aflat proiectia dreptei pe plan calculam mai intai: $pr_{(ABC)}D'=D$
Dar si $pr_{(ABC)}B=B$

Si astfel am aflat ca $pr_{(ABC)}D'B=DB$

Astfel avem unghiul: $m\left(\widehat{D'B,DB}\right)=m\left(\widehat{D'BD}\right)$

Ca sa aflam acum masura unghiului observam ca triunghiul D’BD este dreptunghic in D, astfel aplicand functiile trigonometrice obtinem ca: $\tan\left(\widehat{D'BD}\right)=\frac{c.o}{c.a}=\frac{DD'}{DB}=\frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=1$

Astfel obtinem ca masura unghiului este de $45^{0}$

2. Piramida ABCD are toate muchiile congrunete si inaltimea $AO=4\sqrt{3} cm$ . Punctele M si N sunt mijloacele muchiilor AB si CD.
a) Calculati lungimea muchiei piramidei
b) Aratati ca $MN\perp AB$
c) Calculati sinusul unghiului dintre dreapta MN si planul (BCD)
Problema data la Testarea Nationala din 2006.
Demonstratie:
Stim ca daca piramida are toate muchiile congruente, practic avem un tetraedru regulat, cel care nu va mai reamintiti click aici .

Observam ca stim doar inaltimea AO, stim ca triunghiul ABC este echilateral, la fel si triunghiul BCD, astfel stim ca $BO=\frac{l\sqrt{3}}{3}$ , astfel aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul AOB obtinem:
$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow l^{2}=\left(4\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\frac{l\sqrt{3}}{3}\right)^{2}\Rightarrow l^{2}=16\cdot 3+\frac{l^{2}\cdot 3}{9}^{(3}\Rightarrow l^{2}=48+\frac{l^{2}}{3}$

Astfel separand termenii asemenea obtinem $l^{2}-\frac{l^{2}}{3}=48$ , Astfel aducand la acelasi numitor obtinem: $\frac{3l^{2}-l^{2}}{3}=\frac{48\cdot 3}{3}\Rightarrow 2l^{2}=144\Rightarrow l^{2}=144:2\Rightarrow l^{2}=72\Rightarrow l=\sqrt{72}\Rightarrow l=6\sqrt{2}cm$ , de unde obtinem $AB=6\sqrt{2}cm$ .

b) Pentru a arata ca $MN\perp AB$ , folosim toate informatiile din ipoteza problemei, astfel stim ca M mijlocul AB si N mijlocul lui CD, astfel observam ca BM este mediana in triunghiul echilateral BCD si AN mediana in triunghiul echilateral ACD, de unde obtinem ca BN si AN sunt si inaltimi, conform proprietatilor triunghiului echilateral, observam ca $BN=AN=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{6}}{2}^{(2}=3\sqrt{6}$ ., de unde obtinem ca triunghiul ANB este isoscel, cum M mijlocul lui AB, obtinem ca MN este si inaltime in triunghiul ABN, astfel obtinem ca $MN\perp AB$ .

c) $\sin\left(\widehat{MN,(BCD)}\right)$
Pentru a afla sinusul unghiului calculam mai intai calculam $pr_{(BCD)}MN$ , astfel avem
$pr_{(BCD)}M=P$ , construim $MP\perp BN, P\in BN$ , observam ca $pr_{(BCD)}AB=BO, M\in AB$ $pr_{(BCD)}N=N$ , deoarece $N\in (BCD)$ Asadar obtinem $pr_{(BCD)}MN=NP$
Astfel obtinem $\sin\left(\widehat{MN,(BCD)}\right)=\sin\left(\widehat{MN, NP}\right)=\sin\left(\widehat{MNP}\right)$

Ca sa aflam sinusul unghiului trebuie sa avem triunghi dreptunghi astfel stim ca $MP\perp BN$ , astfel MPN dreptunghic in P, stim ca M mijlocul lui AB, dar si $MP\perp BN$ si $AO\perp BN$ , astfel obtinem ca MN||AO si astfel obtinem ca MP este linie mijlocie in triunghiul ABO si astfel obtinem $MP=\frac{AO}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}cm$ stim si ca P mijlocul lui BO si astfel obtinem ca $PO=\frac{BO}{2}$

Stim ca $BO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{6}$ .

Si astfel obtinem ca $PO=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$ .

Dar si $NO=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{6}=\sqrt{6}$
si obtinem ca $NP=NO+OP=\sqrt{6}+\sqrt{6}=2\sqrt{6}$ .
Aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MPO obtinem $MN^{2}=MP^{2}+PN^{2}\Rightarrow MN^{2}=\left(2\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2\sqrt{6}\right)^{2}\Rightarrow MN^{2}=4\cdot 3+4\cdot 6\Rightarrow MN^{2}=12+24\Rightarrow MN=\sqrt{36}=6 cm$

Astfel obtinem ca $\sin\left(\widehat{MNP}\right)=$
$\frac{MP}{MN}=\frac{2\sqrt{3}}{6}^{(2}=$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Dupa ce am invatat despre unghiul a doua drepte in spatiu si despre proiectia unei drepte pe un plan, dar si proiectia unui punct pe un plan, astazi o sa vorbim despre unghiul unei drepte cu un plan, am amintit si de proiectia unei drepte pe un plan pentru ca o sa ne ajute sa intelegem cum calculam unghiul unei drepte cu un plan.

Def: Unghiul unei drepte cu un plan este unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan (in cazul in care dreapta nu este perpendiculara pe plan si nici paralela cu el).

$m\left(\prec\left(d, \alpha\right)\right)=m\left(\prec\left(d, d'\right)\right)=u^{0}.$

Obs: Daca dreapta este perpendiculara pe plan, atunci masura unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan este de $90^{0}$ .

Daca dreapta este paralela cu planul, atunci masura unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan este de $0^{0}$ .

Masura unghiului unei drepte cu un plan este cuprins intre $0^{0}$ si $90^{0}$ .

Unghiul unei drepte cu un plan are masura cea mai mica dintre unghiurile format de dreapta cu toate dreptele planului respectiv.

Prezentam un exemplu pentru a intelege cea ce am spus mai sus:

1) Se da cubul ABCDA’B’C’D’ cu muchia AB=8 cm. Aflati:

a) $m\left(\prec \left(CC',\left(ABC\right)\right)\right)$

b) $m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)$

c) $m\left(\prec \left(BC',\left(ADD'\right)\right)\right)$

d) sinusul unghiului format de dreapta AC’ cu planul (A’B’C’)

e) distanta de la B’ la dreapta AC

f) tangenta unghiului formata de dreapta AB’ cu planul (BDD’)

g) masura unghiului format de dreaptele BC’ si CD’

Dem:

a) Astfel calculam mai intai $pr_{ABC} CC'$

Astfel mai intai calculam:

$pr_{ABC} C=C$

Dar si

$pr_{ABC}C'=B$

$m\left(\prec \left(CC',\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\prec CC',BC\right)=m\left(\prec BCC'\right)=90^{0}$

deoarece $pr_{\left(ABC\right)} CC'=BC$ , dar si din faptul ca dreapta CC’ este perpendiculara pe planul (ABC), daca dreapta este perpendiculara pe plan, atunci masura unghiului este de 90 de grade.

b) $m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)$

Calculam mai intai $pr_{ABC} AD'$

Astfel mai intai calculam $pr_{(ABC)} A=A$

Dar si $pr_{(ABC)} D'=D$

Astfel obtinem $pr_{(ABC)} AD'=AD$

si astfel obtinem:

$m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\prec\left(AD', AD\right)\right)=m\left(\prec D'AD\right)=45^{0}$ .

c) $m\left(\prec \left(BC',\left(ADD'\right)\right)\right)=0^{0}$

Observam ca BC’|| AD’, stim ca daca o dreapta este paralela cu o dreapta dintr-un plan, atunci dreapta este paralela cu planul deci BC’||(ADD’) si dupa cum am spus si la observatii daca dreapta este paralela cu planul atunci masura unghiului este de 0 grade.

d) sinusul unghiului format de dreapta AC’ cu planul (A’B’C’)

$\sin \left(\prec AC', \left(A'B'C'\right)\right)=\sin\left(\prec AC', A'C'\right)=\sin\prec AC'A'=\frac{cat.opusa}{ipotenuza}=\frac{AA'}{AC'}=\frac{8}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

e) distanta de la B’ la dreapta AC

$d\left(B', AC\right)=AO$

Stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta BO perpendiculara pe drapta AC, astfel stim ca $BO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$ deoarece este jumatate din diagonala patratului BB’=8 si astfel in triunghiul BB’ O dreptunghic in B’BO aplicam teorema lui Pitagora:

$\Rightarrow B'O^{2}=96\Rightarrow B'O=\sqrt{96}\Rightarrow B'O=4\sqrt{6}$ .
f) tangenta unghiului formata de dreapta AB’ cu planul (BDD’)

$\tan\left(\prec AB', \left(BDD'\right)\right)$

$pr_{\left(BDD'\right)}AB'=B'O$

$\tan\left(\prec AB', \left(BDD'\right)\right)=\tan\prec\left(AB' B'O\right)=\tan\prec AB'O=\frac{cat.opusa}{cat. alaturata}$

Stim ca $AO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$

si $AB'=l\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ ,

deoarece AB diagonala in patratul ABA’B’, stim ca $B'O=4\sqrt{6}$

Iar daca aplicam reciproca lui Pitagora observam ca triunghiul AOB’ este dreptunghic in O

$\tan\prec AB'O=\frac{AO}{B'O}=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .
Lungimea proiectiei unui segment
Teorema Lungimea proiectiei unui segment pe un plan este egala cu produsul dintre lungimea segmentului si cosinusul unghiului dintre dreapta suport a segmentului si dreapta respectiva.