Dupa ce am invatat despre unghiul a doua drepte in spatiu si despre proiectia unei drepte pe un plan, dar si proiectia unui punct pe un plan, astazi o sa vorbim despre unghiul unei drepte cu un plan, am amintit si de proiectia unei drepte pe un plan pentru ca o sa ne ajute sa intelegem cum calculam unghiul unei drepte cu un plan.
Def: Unghiul unei drepte cu un plan este unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan (in cazul in care dreapta nu este perpendiculara pe plan si nici paralela cu el).
Obs: Daca dreapta este perpendiculara pe plan, atunci masura unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan este de .
Daca dreapta este paralela cu planul, atunci masura unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan este de .
Masura unghiului unei drepte cu un plan este cuprins intre si
.
Unghiul unei drepte cu un plan are masura cea mai mica dintre unghiurile format de dreapta cu toate dreptele planului respectiv.
Prezentam un exemplu pentru a intelege cea ce am spus mai sus:
1) Se da cubul ABCDA’B’C’D’ cu muchia AB=8 cm. Aflati:
a)
b)
c)
d) sinusul unghiului format de dreapta AC’ cu planul (A’B’C’)
e) distanta de la B’ la dreapta AC
f) tangenta unghiului formata de dreapta AB’ cu planul (BDD’)
g) masura unghiului format de dreaptele BC’ si CD’
Dem:
a) Astfel calculam mai intai
Astfel mai intai calculam:
Dar si
deoarece , dar si din faptul ca dreapta CC’ este perpendiculara pe planul (ABC), daca dreapta este perpendiculara pe plan, atunci masura unghiului este de 90 de grade.
b)
Calculam mai intai
Astfel mai intai calculam
Dar si
Astfel obtinem
si astfel obtinem:
.
c)
Observam ca BC’|| AD’, stim ca daca o dreapta este paralela cu o dreapta dintr-un plan, atunci dreapta este paralela cu planul deci BC’||(ADD’) si dupa cum am spus si la observatii daca dreapta este paralela cu planul atunci masura unghiului este de 0 grade.
d) sinusul unghiului format de dreapta AC’ cu planul (A’B’C’)
.
e) distanta de la B’ la dreapta AC
Stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta BO perpendiculara pe drapta AC, astfel stim ca deoarece este jumatate din diagonala patratului BB’=8 si astfel in triunghiul BB’ O dreptunghic in B’BO aplicam teorema lui Pitagora:
.
f) tangenta unghiului formata de dreapta AB’ cu planul (BDD’)
Stim ca
si ,
deoarece AB diagonala in patratul ABA’B’, stim ca
Iar daca aplicam reciproca lui Pitagora observam ca triunghiul AOB’ este dreptunghic in O
.
Lungimea proiectiei unui segment
Teorema Lungimea proiectiei unui segment pe un plan este egala cu produsul dintre lungimea segmentului si cosinusul unghiului dintre dreapta suport a segmentului si dreapta respectiva.