Teorema catetei

Astazi o sa vorbim despre teorema catetei, care de asemenea joaca un rol important pentru a rezolva probleme in cazul in care stim o cateta si proiectia acesteia pe ipotenuza sau daca stim proiectia unei catete pe ipotenuza si ipotenuza. Astfel enuntul teoremei catetei este:

Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei si proiectia acesteia pe ipotenuza.

$ AB^{2}=BD\cdot BC $
in cazul in care vrem sa aflam cateta AB si stim BD, BC sau stim BD, AB si vrem sa aflam BC
sau
$ AC^{2}=CD\cdot BC $ .
in cazul in care vrem sa aflam cateta AC si stim DC, BC.
Exemplu:
In triunghiul dreptunghic ABC, $m(\prec A)=90^{0}$ , mediana AM, $M\in (BC)$ este egala cu latura AB, Stiind ca AM=12 cm calculati:
a) lungimea proiectiilor BD si CD
b) lungimea catetei AC
Ip:
$\\\Delta ABC$ dreptunghic
$\\m(\prec A)=90^{0}$
AM=12 cm
Cz: a) BD=?; DC=?
b) AC=?
Dem:

AB=AM (din ipoteza), atunci triunghiul ABM isoscel, deci AB=12 cm. Stiim din clasa a VI-a teorema medianei, care ne spune ca ” Intr-un triunghi dreptunghic mediana dusa din varful unghiului drept masoara jumatate din ipotenuza”. Astfel ipoteza la noi este verificata, avem un triunghi dreptunghic, astfel aflam BC
$ \\AM=\frac{1}{2}\cdot BC \\ 12=\frac{1}{2}\cdot BC \\ BC=24 cm. $
Stim ca AM=AB, dar AM=BM deoarece AM mediana (se numeste mediana unui triunghi segmentul care uneste un triunghi cu mijlocul laturii opuse), deci $AM=BM=AB=12 cm,$ deci triunghiul ABM este echilateral.

Cum triunghiul ABM echilateral rezulta ca $m(\prec ABM)=60^{0}$ . Deci $m(\prec ACB)= 30^{0}$ . Acum in triunghiul ADB dreptunghic in D, cu $m(\prec BAD)=30^{0}$ aplicam teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ , deci $BD=\frac{1}{2} \cdot AB$ . Deci BD=6 cm. Sau aplicam teorema catetei $AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow 144=BD\cdot 24\Rightarrow BD=\frac{144}{24}\Rightarrow BD=6$ cm.
Cum BC=24 cm, BD=6 cm. Deci DC=24-6 =18 cm, iar pentru a afla AC aplicam teorema catetei $AC^{2}=DC\cdot BC \Rightarrow AC^{2}=18\cdot 24\Rightarrow AC=\sqrt{18\cdot 24}\Rightarrow AC=12\sqrt{3}$ cm.
Deci ca sa rezolvam probleme ca cele de mai sus trebuie sa stim si cunostintele pe care le-am invatat in clasele anterioare.

Recente

Categorii